2020年等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法精编版.doc

精选文档等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记： an an 1 d （d为公差）（ n 2 ， n N * ）注：下面所有涉及 n ， n N * 省略，你懂的2、等差数列通项公式：an a1 (n 1)d ， a1 为首项， d 为公差推广公式：an am (n m)d变形推广：dan amn m3、等差中项（ 1）如果 a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即：Aa b 或 2 A a b2（ 2）等差中项：数列 an是等差数列2anan -1 an 1 (n 2)2an 1anan 24、等差数列的前 n 项和公式：Snn( a1an )na1n(n 1)d22d n2(a11 d )n An 2Bn22（其中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S 是关于 n的二次式且常数n项为 0）特别地，当项数为奇数 2n1 时，an1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S2 n 12n 1 a1 a2n 12n 1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项2和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法精选文档精选文档（ 1）定义法：若 an an 1 d 或 an 1and ( 常数 n N )an 是等差数列．（ 2）等差中项：数列 an 是等差数列2an an -1 an 1 (n 2)2an 1anan 2（ 3）数列 an 是等差数列（ 4）数列 an 是等差数列6、等差数列的证明方法an kn b （其中 k,b 是常数）。

Sn An2 Bn , （其中 A、B是常数）定义法：若 an an 1 d 或 an 1and ( 常数 n N )an 是等差数列．7、等差数列相关技巧：（ 1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、d 称作为基本元素只要已知这5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余2个，即知 3求2 2）设项技巧：①一般可设通项 an a1(n 1)d②奇数个数成等差，可设为 ，a2d , a d , a, a d , a2d （公差为 d ）；③偶数个数成等差，可设为 ， a 3d ,a d, a d, a 3d , （注意；公差为 2 d ）8、等差数列的性质：（1）当公差 d0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d是 关 于 n 的 一 次 函 数 ， 且 斜 率 为 公 差 d ； 前 n 和Sn na1 n(n 1)dd n2( a1d )n 是关于 n 的二次函数且常数项为2220 2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。

3）当 m np q 时, 则有 amanapaq ，特别地，当 m n 2 p时，则有 am an2a p 注： a1 ana2an1a3 an 2，）当然扩充到 3 项、4 项 都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系精选文档精选文档数之和相等4） an 、 bn 为等差数列，则 an b ， 1an 2bn 都为等差数列(5)若{an } 是等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n， 也成等差数列(6)数 列 { an} 为 等 差 数 列 , 每 隔 k(kN* )项取出一项( am , am k , am 2 k , am 3 k , )仍为等差数列（7） an、{ bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，则 anA2n 1bnB2 n 1（8）等差数列 { an } 的前 n 项和 Smn ，前 m 项和 Snm ，则前 m+n项和 Sm nmn ，当然也有 an m, amn ，则 am n0(9) 求 Sn 的最值法一：因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 n N * 。

法二：（1）“首正” 的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和即当 a10， d0， 由 an0可得 Sn 达到最大值时的 n 值．an 10（2） “首负”的递增等差数列中，前 n 项和的最小值是所有非正项之和即 当 a10， d0， 由 an0可得 Sn 达到最小值时的 n 值．an10或求 an 中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数， 故n取离二次函数对称轴最近的整数时， Sn 取p q最大值（或最小值） 若 Sp = S q 则其对称轴为 n2注意： Sn Sn 1 an (n 2) ，对于任何数列都适用， 但求通项时记住讨论当 n 1 的情况精选文档精选文档解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程；②巧妙运用等差数列的性质， 一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明， 不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：2、通项公式：anq q 0 n 2， q 为公比an 1ana1qn 1 ， a1 为首项， q 为公比推广公式： anamqn m ， 从而得 q n m anam3、等比中项（ 1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即：A2ab 或 Aab注意： 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（ 2）数列 an 是等比数列 an 2 an 1 an 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：(1) 当 q 1 时， Sn na1(2) 当 qa11qna1anq1 时， Sn1q1qa1a1qnA A BnA ' BnA（'A, B, A', B '为常数）1q1 q5、等比数列的判定方法精选文档精选文档（1）用定义：对任意的 n,都有 an 1qan 或 an 1q( q为常数， an 0){ an }an为等比数列（2） 等比中项： an2an 1an 1 （ an 1an 10）{ an } 为等比数列（3） 通项公式： anA Bn A B0{ an} 为等比数列（4） 前 n 项和公式：Sn A A Bn或Sn A' Bn A ' A, B, A', B '为常数 { an } 为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：若 anq q 0 n 2, 且 nN * 或 an 1 qan{ an } 为等比数列an17、等比数列相关技巧：（ 1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、q 、 n 、an 及 Sn ，其中 a1 、q 称作为基本元素。

只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：an a1qn 1如奇数个数成等比，可设为 ，aa2 （公比为 q ，中间项q2 ,q, a, aq, aq用 a 表示）；注意隐含条件公比 q 的正负8、等比数列的性质：(1) 当 q 1 时①等比数列通项公式 ana1 qn 1a1 qnA Bn A B 0 是关于 n 的带有系q数的类指数函数，底数为公比qa1 1qna1 a1qna1a1 qnA A BnA ' Bn②前 n 项和 SnA' ，系1q1q1 q1 q精选文档精选文档数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比 q(2) 对任何 m,n N * ,在等比数列 { an } 中,有 an am qn m ,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式因此 ,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性3)若 mns t ( m, n, s,t N * ),则 an amas at 特别的 ,当 m n2k 时,得 an amak2注： a1 ana2 an 1a。