趣味探究有理数域(系)构成与扩充.pdf

趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水， 有人说是气， 我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是 “数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起， 这样就可以在茫茫数域中找准它的位置， 我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数， 而这种数是不符合他老师的宇宙理论的如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比 (应该等于，是一个无理数) 更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法， 又是毕达哥拉斯学派常用的。

因为毕氏已经用有理数解释了天地万物， 无理数的存在会引起对他信念的怀疑毕氏本应接受这新数源然而， 毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证 使他终身蒙羞的是， 他竟然判决将希帕索斯淹死这是希腊数学的最大悲剧， 只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着后来，欧几里德以反证法证明根号2 是无理数鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数， 这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理表面上枯燥乏味的数学知识， 其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解：我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4⋯的数是自然数正数前面加上负号就是负数，例如-1 、-2、-3 、-4 ⋯把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、⋯。

小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数都可以化成有限小数或无限不循环小数，所以分类里都以分数为代表二、有理数集的扩充的原由人类最初的计数活动， 起源于于对猎物和猛兽的点数，以及人群间对捕获物的分配和交换， 当原始人发现两只狼逼近时， 可能会伸出两个手指将这一信息传达给他的同伴，并从两只狼、两只羊、两只野果等等和两个手指之间的一一对应关系中逐渐领悟到“2”这个概念然后又有 3,4 等概念的产生这样，自然数的概念和人类的十个手指结下了不解之缘公元前4 世纪的哲学家亚里士多德曾经指出：十进制的广泛使用， 是由绝大多数人生有10 个手指和 10 个脚趾这一生理特征决定的 下面介绍下二进制数， 让大家感受下不同数制之间的不同：二进制是计算技术中广泛采用的一种数制二进制数据是用0 和 1 两个数码来表示的数 它的基数为 2， 进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”如下：加法 0+0=0，0+1=1+0=1 ，1+1=10 减法 0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=-1 ，10100-1010=1010 乘法 0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1 除法 0÷1=0，1÷1=1 只有 0 和 1 两个数码，基数为二。

十进制数转化为二进制数的方法： 任何一个十进制整数都可以表示成若干个 2 的幂的和的形式，再写成二进制数就好写了例如：十进制数 81=64+16+1=2的 6 次方+2 的 4 次方+2 的 0 次方=二进制数1000000+10000+1=101001 二进制转十进制的方法：从最后一位开始算 ,依次列为第 0、1、2.位 第 n 位的数（ 0 或 1）乘以 2 的 n 次方 得到的结果相加就是答案 例如:01101011. 转十进制 : 第 0 位:1 乘 2 的 0 次方=1 1 乘 2 的 1 次方=2 0 乘 2 的 2 次方＝0 1 乘 2 的 3 次方＝8 0 乘 2 的 4 次方＝0 1 乘 2 的 5 次方＝32 1 乘 2 的 6 次方＝64 0 乘 2 的 7 次方＝0 1＋2＋0 ＋8＋0＋32＋64＋0＝107．二进制 01101011 ＝十进制 107 随着人们的活动范围的扩大，继而又产生了新的数学问题，比如：“半个苹果”，就不能用自然数来表示其数量，必须创造新数，人们又引进了分数 ⋯现实生活中有不足、亏欠，又产生了负数从数的运算了来看， 任何两个自然数相加， 结果仍然是自然数，我们说加法运算在自然数范围内是“通行无阻”的。

但是，任何两个自然数相减，结果却不一定是自然数，有了负数，减法运算在整个整数范围内也就没有“障碍”了同样，一个整数乘一个整数，结果还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数 ⋯综上所述，推动数域（系）不断扩充的原由有两个，外因是社会发展的需要； 内因是为了满足运算封闭性的需要：除之不尽而有分数，减之不够而有负数三、有理数集扩充的过程中国是最早使用十进制数的文明古国，殷墟出土的甲骨文说明，殷商初期就已使用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等 13 个计数单位， 即已经建立了十进非位值数制到了周代，又出现以算筹为计算工具的筹算方法表示数目一到九的算筹数码有纵横两种形式：计数时，个位常用纵式，十位常用横式，依次纵横相间，按照从低位到高位自右向左排列 0 用空位表示一般地，如果相邻两个数目都是横式，或都是纵式，它们之间必要有表示0 的空位这样，就能用9 个数码和空位表示任意大的自然数这是世界上最早的十进制数，也是我国数学史上最重要的成就之一正分数是紧接着自然数之后产生的，距今已有四千多年，但是零的符号“ 0”迟至公元后才在印度出现9 世纪的印度数学家摩诃毗罗对零的运算做了完整的讨论。

这样就形成了非负有理数 这之前，约在公元前 5 世纪，希腊的毕德哥拉斯的学生希帕索斯发现了无理数，但是该学派不愿意接受也不愿意使用至于负数，在中国的《九章算术》里就已经正式出现，其中“正负术”记载了正负数加减运算的法则 16 世纪中叶，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书讨论三次方程的解法时， 使用了负数的平方根 他因此享有发现虚数的荣誉其实新数的产生是交错出现的例如，在人们引进负数之前先发现了无理数 从整体上来看， 有理数集发展的历史过程大致按照以下顺序：自然数集正有理数集有理数集在小学数学教科书里， 数的概念的扩充的步骤同历史过程大致接近，只是将零的引入提前了，即自然数集扩大的自然数集算术数集有理数集一代数学大师陈省身在2002 年国际数学家大会曾为青少年数学爱好者题词“数学好玩” ，我希望学生们在我以后的教学过程中能认识到数学的趣味性，爱数学、好数学，那么作为科学侍女的数学工具才能学以致用添正分数添负分数和零添零添正分数添负数。