《等比数列》第一课时教学方案人教B版选择性必修第三册.docx

第五章 数列5.3.1 等比数列（第一课时）◆ 教学目标1． 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导．2． 在教学过程中渗透函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力．◆ 教学重难点◆ 教学重点：等比数列概念的形成与深化，通项公式的推导及应用．教学难点：等比数列概念的深化，体现等比数列是一种特殊函数，通项公式的推导及应用．◆ 教学过程【新课导入】　问题1：前面我们学习了等差数列，它是从什么角度来进行定义的呢？还记得等差数列的通项公式是如何推导出来的吗？等差数列的通项公式和哪个函数有关呢？师生活动：老师提问，学生回答．预设的答案：是从前后项之间的关系来进行定义的；通过累加的方法推导出来的；一次函数． 设计意图：通过回顾等差数列，既起到了复习的作用，也为以下研究等比数列提供了类比依据．【探究新知】知识点1 等比数列的概念问题情境：观察课本P28页所提出来的数列：① 1，2，4，8，16，32，…．② …． ③ 10001.03，10001.032，…，10001.035．　问题1：以上三个数列在数学中都称为等比数列，类比学过的等差数列，总结一下它们有什么共同点？你能给等比数列下一个定义吗？师生活动：鼓励学生独立思考，归纳出相关结论，提问回答．预设的答案：学生类比等差数列可以总结出，从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于一个常数，具体地，数列①从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于2；数列②从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于；数列③从第2项起， 每一项与它的前一项之比都等于1.03． 教师总结：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，即 恒成立，则称{an}为等比数列，其中称为等比数列的公比． 　【想一想】：公比可以为0吗？师生活动：学生思考后回答．预设的答案：公比不能等于0，等比数列中也不能有0这样的项．设计意图：通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，更通俗易懂．通过类比等差数列来进行总结，更容易发现规律和总结规律．整个研究过程和研究函数相同，的从特殊到一般的研究方法． 知识点2 等比数列通项公式的推导问题2：通过等比数列的定义，你能写出数列的前四项吗？ 师生活动：学生独立完成，教师给出答案．预设的答案： 追问1：观察总结以上式子的规律，类比等差数列，你能给出等比数列的通项公式吗？预设的答案：教师总结：等比数列通项公式为：设计意图： 通过先写出数列的前几项经过观察、总结、猜想的过程得出结论，这个过程是我们研究问题的一般思路．追问2：这个是观察总结得到的结论，如何证明呢？提示：等差数列我们通过累加的办法抵消掉了除了以外的其它项，得到了等差数列的通项公式，能不能借鉴呢？师生活动：学生会有很多想法，一边提问一边总结，进行归纳．预设的答案： 这n－1个式子两边分别相乘，可以得到．教师总结：累加法和累乘法是研究数列的一种常用方法． 设计意图： 一方面通过严格的证明体现了数学的严谨性，再让学生体会通过先猜想再证明的研究思路．再者，通过类比等比数列的累加，观察等比和等差形式上的区别从而得出累乘，更能突出这两种方法的特点，从而掌握这两种方法．【巩固练习】例1 判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由．（1）1，10，100，1 000，10 000；（2）0，1，2，4，8；（3） 解：（1）因为 所以是等比数列，且公比为10． （2）因为没有意义，因此不是等比数列．（3）因为所以是等比数列，且公比为．教师点评：①可以通过等比数列定义来进行判断是否为等比数列．②因为 ，所以，在已知每一项均不为0的前提下，可通过检查是否恒成立来判断数列是否是等比数列．例2 已知等比数列{an}的首项为=27，公比（1）求；（2）判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．解 （1）由等比数列的通项公式可知 （2）设18是数列中的第n项，则，化简得，因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项．设计意图： 熟悉等比数列的定义，强化定义的理解．【尝试与发现】在等比数列的通项公式中，的关系与以前所学过的什么函数有关？师生活动：学生讨论回答，教师引导总结．预设答案：与指数函数有关教师总结： ，所以如果记 则可以看出 ，且 ①当公比时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公比为1的等比数列是常数列）；②当公比时，f（x）是的乘积，此时，f（x）的增减性既与a1有关，也与q有关．追问：常数列都是等比数列吗？预设回答：除了各项均为0的数列外的常数列，即是等差又是等比数列．设计意图： 数列的是一种特殊的函数．从上文中数列仿照研究函数思路，从一般数列到特殊数列，以及这里数列函数理解的直接提出，都能够很好的让学生体会到这点．例3 已知数列{an}的通项公式为an =32n，判断这个数列是否是等比数列．如果是，求出公比；如果不是，说明理由．解 因为 所以数列{an}是等比数列，且首项为6，公比为2．事实上，可以证明，数列{an}是等比数列的充要条件是，其中k，q都是不为0的常数． 设计意图： 进一步明确数列和函数之间的关系．例4 已知等比数列{an}的公比为q，求证：对于任意的正整数m，n，有证明 设等比数列的首项为a1，则 即例5 已知等比数列{an}中，，求．解 设等比数列的首项为，公比为q，则，解得代入a3可得 【想一想】：如果把题目改为那么q唯一吗？预设答案：不唯一，教师总结：等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．设计意图：通项公式的灵活运用和理解．【课堂小结】1． 本节课从一般到特殊的方法认识了等比数列的定义． 即：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，即 恒成立，则称{an}为等比数列，其中称为等比数列的公比．2． 通过归纳前几项的规律总结然后再进行证明，得到了等比数列的通项公式，3． 认识到了等比数列是与指数函数有关．4． 等比数列项与项之间的关系可以用来进行表示，以及它们之间的符号关系等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．。