专题06导数的几何意义灵活应用.doc

专题 06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数 y＝ C(C 为常数 )， y＝ x， y＝ x2， y＝ x3， y＝1， y＝ x的导数．x4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1) 函数 y＝ f(x)从 x1到 x2的平均变化率用 ________表示，且2）－ f （ x1） .y＝ f （ xxx2－ x1(2) 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的瞬时变化率是：limy＝ limf （ x＋ x）－ f（ x）.00x 0xx0x2．导数的概念(1) 函数 y＝ f(x)在 x＝ x处的导数就是函数y＝ f (x)在 x＝ x处的瞬时变化率，记作f′(x)或 y′|x＝ x ，即 f ′(x)00000＝ limf（ x0＋ x）－ f （ x0） .x 0x(2) 函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数，当x 变化时， f′(x)是 x的一个函数，称f ′(x)为 f(x)的导函数 (简称导数 )，即 f′(x)＝ limf （ x＋ x）－ f（ x）.x 0x3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y＝ f( x) 在 x＝ x0 处的导数就是曲线y＝ f (x)上 _____________________ 的斜率k ，即 k＝_______；切线方程为 ______________________ ．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝ f(t)，则 f ′(t00时刻的 ___________)是物体运动在 t＝ t4．基本初等函数的导数公式(1) 常用函数的导数① (C) ′＝ ________(C 为常数 );② (x) ′＝ ________；③ ( x2) ′＝ ________； ④1′＝ ________；x⑤ ( x) ′＝ ________．(2) 初等函数的导数公式① ( xn) ′＝ ________； ② (sin x) ′＝ __________ ；③ (cos x) ′＝ ________；④ (ex) ′＝ ________；⑤ ( ax) ′＝ ___________；⑥ (ln x) ′＝ ________；⑦ (log ax) ′＝ __________ ．5．导数的运算法则(1)[ f(x) ±g(x)] ＝′________________________ ；(2)[ f(x) ·g(x)] ＝′_________________________；f （ x）(3) g（ x） ′＝ ____________________________ ．6．复合函数的导数(1) 对于两个函数 y＝ f(u)和 u＝ g( x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数 (函数 y＝f (u)和 u＝ g(x)) 的复合函数为 y＝ f(g(x))．(2) 复合函数 y＝ f(g(x))的导数和函数 y＝ f(u)，u ＝g( x)的导数间的关系为 ___________________ ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．1.变化率例 1. 【河南 2019 名校模拟】已知：函数 ， 、 为其图像上任意两点，则直线 的斜率的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】 B【解析】 ，而 ，易得， 在 上单调减少， 在 上单调增加，故 ,故选 B.练习 1．设 fx 在 x0 可导，则等于（）A ． 4 f ' x0B ． f ' x0C ． 2 f ' x0D． 3 f ' x0【答案】 A【解析】 由题得==4 f x0 ，故选 A.练习 2．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A． B．C． D．【答案】 A【 解 析 】 由 ， ， 故，即故选： A．2.导数的定义，例 2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）A． B． C． D．【答案】 B【解析】 根据导数的定义得到 = ,即可得到答案 .【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：故答案为： B.【 点 睛 】 这 个 题 目=考 查了 导数 的定义 ， ，，凑出分子是 y 的变化量， 分母是 x的变化量即可 .练习1．设函数fx在 x1处可导，则（ ）A ．f1B ．1f1C．2 f1D．f12【答案】B【解析】 ∵函数fx 在 x1 处可导，∴∴，．选 B．练习 2．已知函数 在 处可导， 若 ，则A． B． C． D．【答案】 B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算 .3.求倾斜角例 3．【 福建省莆田第六中学2019 第一次模拟 】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（0, ），得到曲线 C ，若对于每一个旋转角，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A ．B ．C ．3D．24【答案】 D【解析】 函数 的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时， 当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90 时，其图象都依然是一个函数图象，因为 x0 是 y1是 x 的减函x1数，且 0 y 1,当且仅当 x0 时等号成立，故在函数的图象的切线中， x0 处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知 max，故选 D.44练习 1．设点 P 在曲线上，点 Q 在直线 y=2x 上，则 PQ 的最小值为（）A ．2B．1C．D．【答案】 D【解析】 在曲线上求一点， 使得过这点的切线与直线平行， 再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值 .【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值 .在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点 .属于中档题 .练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】 B【解析】 根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 θ，求出函数 f（ x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝ f′（ 1） ，即 tan θ ，结合 θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 θ，f （ x）lnx ﹣ x，则 f′（ x）x21，则有 k＝ f′（ 1），则 tan θ ，又由 0≤θ＜ π，则 θ ，故选： B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．练习 3.．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．【答案】 A【解析】 求出曲线 在 处切线斜率，从而可得进而得到 .【详解】函数的定义域为 ， 时， ，即 且 为锐角，则故选 A.4.曲线上某点处的斜率例 4．【 陕西省彬州市 2018-2019 学年上学期高 2019 届】已知函数 ，在点 处的切线为 ，则切线 的方程为（ ）A． B． C．D ．。