1-2-3_几何意义及经典试题_题库学生版.doc

内容基本要求略高要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实 数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简 问题板块一：绝对值几何意义当x = a时，\x-a\ =0 ,止匕时d是卜一d|的零点值.零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴 上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.同的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.\a-b\的几何意义：在数轴上，表示数d、方对应数轴上两点间的距离.【例1】（2级）|加的几何意义是数轴上表示加的点与表示〃的点之间的距离.（1） 卜|的几何意义是数轴上表示 的点与 Z间的距离；|x|_|x-0| （＞,=, ＜）；（2） |2-1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点Z间的距离；则|2-1 ；（3） |x-3|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点Z间的距离，若卜-3| = 1,贝I」X — •⑷卜+ 2|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点乙间的距离，若卜+ 2| = 2,则x = ・（5）当x = —l 时，贝lj|x-2| + |x+2|= ・【例2】（4级）已知加是实数，求网m-l| + \m - 2|的最小值【例3】（4级）L1知加是实数，求\m - 2| 4- \m -4| 4- \m -6| + \m -8|的最小值【例4】（6级）设a{, a2, ay, ...an是常数（n是大于1的整数）,f I.r/1

b、c、d备自对应着数轴上X、丫、Z、/?四个点，且（1） \b-d 比 \a -b\ , a-c、a-d、”一c、c-d| 都大；（2） \d - a + a - c = \d -c ；（3） c是〃、b、c、d中第二大的数.则点X、丫、Z、R从左到右依次是 【巩固】（6级）（第14屈希望杯1试）如右图所示，若的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点.（填 或 “ D ”）【巩固】（6级）（05年北京市中学生数学竞赛）（第15届希望杯培训试题）如果” 一切=1 , |/? + c = 1 , a+c = 2 ,求” + b + 2c| 的值.【巩固】（8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）己知b、c、d都是一整数，且 a +b| + ” + c| + |c + d| + |d + = 2 ,贝lj + d| = .【例11】（8级）（ 2006年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为1,2,3,..., 2006的点称为标点,一只青蛙从点1 出发，经过2006次跳动，且冋到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明 理由【例12】（6级）如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中4、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动 中心，使备村到活动中心的路程Z和最短，则活动中心应建在什么位置？城市1 1 111 IIA B G C D E F【巩固】（6级）如图所示为一个T厂区的地图，一•条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂角，…,舛分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连.现在要在公路上设一个长途汽车站，车站 到备工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点 又建立了一个T厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？【例13】（6级）（山东省烟台中考）先阅读下面的材料，然后回答问题:在一条育线上冇依次排列的n(W >l)台机床在工作，我们要设置一个零件供丿M站P ,使这〃台机 床到供丿卫站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上冇2台机床时，很明显设在人和间的任何地方部行，因为甲和乙所走 的距离Z和等于到心的距离。

如图乙，如果育线上冇3台机床时，不难判断，供丿2站设在中间一台机床短处最合适，因为如 果P放在人2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A到人的距离，而如果把P放在别处，例如D处， 那么甲和丙所走的距离之和仍是A,到九的距离，可是乙还得走从A到D的这一段，这是多出來的, 因此P放在人处是最佳选择不难知道，如果肓线上有4台机床，P丿应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P 应设在第3台位置 问题⑴：有八台机床时，P应设在何处？问题(2)：根据问题⑴的结论，求|x-l| + |x-2| + |x-3| + ... + |x-617|的最小值板块二：绝对值其它重要性质的应用(1 )任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即问且\a\>-a\ (2 )若同=|/?|,则 a = b 或 a = -b ；(3 ) ab = ci\-\b\; (/?^0);(4) \a\2=\a2 \=a2 ；(5 ) a -|/?||<\a +b\< a +1/?|.【例14】(2级)填空：%1 若|a| + ”| = |a+/?|,贝Ija, b 满足的关系 •%1 若\a\-\h\ = \a-h\f则a, b满足的关系 ・%1 已知—方是有理数，k|Wl, \b\ 2 ,且山一切二3,贝\\a^-b = 【例15】(6级)(第14屈“希望杯”)已知a、b、c、d是有理数，|a-b|W9, |c-d|W16,且 \a-b-c + d\ = 25 ,贝ll”一⑷一|d-c| = .【巩固】（6 级）（第 11 届希望杯2试）If |x| <3,|y|<1,|z|<4,and |x-2y + z| = 9,then x2y4zh =【例16】(6级)(北京市初中一年级“迎春杯”数学竞赛题)如果\a\ = a + \9\a-\\x = a-\,那么 x + -卜-四= o（8级）（第10屈希望杯培训试题）若m是方程l2OO0_xl=2OOO+l兀I的解，贝IJI/n-20011等于（A.加一2001B. 一用一2001C.加+ 2001).D.—加+ 2001【例 17】(6 级)已知初 <0,求 a2\b\-b2 \a\ + ab(\a\-\b\)的值.【巩固】（6级）第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛）己知〃是有理数，有以下三个不等式:① la + blvla-bl；② a2 +b2-^\a\ + \b\+l<0 ；③ a2 +b2 -2\a\-2\b\+l<0. 其中一定不成立的是 （填写序号）.板块三：经典试题（拓展篇，学生版没有）【例18】（8级）将200个数1~ 200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为勺 …<4oo, 另一组从大到小排列，设为也>b2 >•••>%,求代数式01 -也| + 02 -优| +…+ 0100 Tool的值.【例19】（10级）少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差再取绝对值的运算， 其运算过程是：输入第一个幣数召，只显示不运算，接肴再输入整数花后则显示|a, -x21的结果，此 后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991个整数随 意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最示结果设为P,求出P的最大值，并说明理由.【例20】（10级）试求如下表达式的最大值:••- x{-x2 -x3 x2002 ,其中X］、x2 >…、心⑴是1〜2002的一个排列.练习1. （4级）（山东烟台中考题改编）如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P,使这5台机床到供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？A B C D E-I 12 4 8练习2. （6级）（2002年扬州市中考题）设a V方v c < d ,求y = x-a +兀一方+ x-c + x-d|的最小值，并求出此时x的取值.练习3・（6级）（第17屈希望杯培训试题）如果对于某一给定范围内的x值，p = |x + l| + |x-3|为定值，则此定值为 练习4・（6级）若a,b,c, d为互不相等的有理数，且c最小，最大，且I—c|-|b-c| + |b-d|斗-d| .请 按（i,b,c,d从小到大的顺序排列.练习5・（6级）若a,b,c,d为互不相等的有理数，且\a-c\ = \b-c\ = \d-b\ = \,求\a-d\.练习6. （8级）如果有理数—b , c满足”_纲<6, \b-d\<7, \a-b-d\ = 13,求|a _2闿+ ”_d|的值.练习 7. （8 级）（第 16 屈希望杯 2 试）If two rational numbers x, y satisfy |x| + y = 3 and |x|y + x2=0 ,thenx = , y = • （rational numbers： 有理数）。