1989考研数学真题+答案.pdf

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 1 页 1989 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题一、填空题 ( (本题满分本题满分 1515 分，每小题分，每小题 3 3 分分) ) (1) 以知f (3)=2,则 0(3)(3)lim2hfhf h-1 (2) 设( )f x是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，则( )f x 1x. (3) 设平面曲线 L 为下半圆 Y=－21x，则曲线积分)(22yx L (4) 向量场22( , , )ln(1)zu x y zxy iye jxz k在点 p(1,1,0)处的散度divu2 (5) 设矩阵A  304041003，I  100010001则逆矩阵1(2 )AI 100021 21001二、选择题二、选择题 ( (本题满分本题满分 1515 分，每小题分，每小题 3 3 分分) ) (1) 当0x 时，曲线1sinyxx (A) 有且仅有水平渐近线； (B) 有且仅有铅直渐近线. (C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线. (2) 已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz ，则点P的坐标是 (A) (1,-1,2) (B)(-1,1,2) (C)(1,1,2) (D)(-1,-1,2) (C) (3) 设线性无关的函数123,,y y y都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy 的解，12,c c是任意常数，则该非齐次方程的通解是 (A)32211yycyc (B)3212211)1 (yccycyc (C)3212211)1 (yccycyc (D)3212211)1 (yccycyc (D) (4) 设函数2( ),01, ( )f xxxs x 1sin, nbnn x,x，其中102( )sin,(1,2,)nbf xn xdx n，.则1()2s )等于 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 2 页 (A) 1 2 (B) 1 4 (C) 41(D) 21(B) (5) 设A是 4 阶矩阵，且A的行列式0A ，则A中 (A) 必有一列元素全为 0； (B) 必有两列元素对应成比例； (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合. (C) 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分，每小题分，每小题 5 5 分分) ) (1) 设),()2(xyxgyxfz,其中函数( )f t二阶可导，( , )g u v具有连续的二阶偏导数，求yxz 2. 解：解：2uvzfgygx, „„2 分 2 2uvvvvzfxgxyggx y  . „5 分 (2) 设曲线积分 02)(dyxydxxy与路径无关，其中)(x具有连续的导数，且)0(=0.计算)1 , 1()0, 0(2)(dyxydxxy的值. 解：解：由2( , ),( , )( ),PQP x yxy Q x yyxyx, „„1 分 得22( ),( )xyyxxxC. 再由(0)0C=0 得，故2( ) xx. „„3 分 所以(1,1)(1,1)222(0,0)(0,0)( )xy dxyx dyxy dxx ydy. 沿直线yx从点(0,0)到点(1,1)积分，得(1,1)123(0,0)01( )22xy dxyx dyx dx„„5 分 (3) 计算三重积分 dyzx)(，其中是由曲面 z=22yx 与 z=221yx 所围成的区域. 解：解：利用球面坐标计算2124 000sincossinxdvddrrdr „„1 分 424 00 011sin[(sin2 )]0244dd   . „„2 分 2124 000cossinzdvddrrdr 24 0112sin248d . „„4 分 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 3 页 所以()8xz dv. „„5 分 四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 将函数arctgxf)(xx  11展为 x 的幂级数. 解：解： 由2 2 01( )( 1),( 11)1nnnfxxxx „„2 分 得1 2210000( 1)( )(0)( )( 1)21xnxnnnnnf xff t dtt dtxn . 而(0)arctan14f， „„5 分 所以2101( 1)arctan,( 11)1421n nnxxxxn  . „„6 分 五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 设 0( )sin() ( )xf xxxt f t dt,其中f为连续函数，求( )f x. 解：解： 00( )sin( )( )xxf xxxf t dttf t dt, 0( )cos( ),( )sin( )xfxxf t dt fxxf x . 即( )( )sinfxf xx ， „„2 分 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为00|(0)0,|(0)1xxyfyf. „„3 分 其对应齐次方程的通解为12sincosyCx Cx. „„4 分 设非齐次方程的特解*( sincos )yx ax bx,可得10,2ab；于是*cos2xyx. „„5 分 因此非齐次方程的通解为12sincoscos2xyCxCxx. „„6 分 又由初始条件定出121,02CC，从而1( )sincos22xf xxx. „„7 分 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 证明方程 lnx=xex2cos1 0dx 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根. 解：解： 01 cos22 2xdx. „„2 分 记( )ln2 2xF xxe，则11( )F xex，( )0F e. 因当0xe时，( )0F x，( )F x递减；当ex 时，( )0F x，( )F x递增； 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 4 页 故( )F x在区间(0, )()ee 和 ，内分别至多一个零点. „„5 分 又( )2 20F e ，34()0,()0F eF e.由零点定理，( )F x在区间34(, )()eeee和 ，内分别有一个零点.故方程 0ln1 cos2xxxdxe在(0,)内有且仅有两个实根. „„7 分 七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 问为何值时，线性方程组13123123( )4226423xxf xxxxxxx  有解，并求出解的一般形式. 解：解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换得 101101 412201232 6142301243   101012320001  „„3分 当10  ，即1时，方程组有解. „„4 分 这时方程组为131231231 423 645xx xxx xxx  ，而13231 21xx xx  为其同解方程组. „„5 分 解之得13231 12xx xx    .其中3x取任意常数. „„6 分 八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 假设为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明： (1) 1为 A-1 的特征值； (2) —|| A为 A 的伴随矩阵 A*的特征值. 证：证： （（1））由条件知有非零向量满足A „„2 分 两端左乘以1A，得1A. „„3 分 因为非零向量，故0，于是有11A，所以1 为1A的特征值. „„4 分 （（2））由于1*1 ||AAA， „„5 分 故前一式又可写为*11 ||AA， „„7 分 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 5 页 从而有*||AA，所以|| A为*A的特征值. „„8 分 九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 设半径为 R 的圆面的球心在定球面2222,(0)xyzaa上，问当 R 取何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？ 解：解：设球面的方程为2222()xyzaR. 两球面的交线在xoy面上的投影为2 2222 2(4)4 0RxyaRa z . „„2 分 记投影曲线所围平面区域为xyD.球面在定球面内的部分的方程为222zaRxy， 这部分球面的面积22222( )1xyxyxy DDRS Rzzdxdydxdy Rxy „„4 分 2232422 22002RaRaRrRddrRaRr . „„6 分 令23( )40RS RRa，得驻点1240(),3aRR舍去， „„8 分 由于4()403aS.故当4 3aR 时，球面在定球面内的部分的面积最大. „„9 分 十、填空题十、填空题 ( (本题满分本题满分 6 6 分，每小题分，每小题 2 2 分分) ) (1) 已知随机事件 A 的概率 P(A)=0.5,随机事件 B 的概率 P(B)=0.6 及条件概率 P(B|A)=0.8， 则和事件 AB 的概率 P(AB)=0.7 (2) 甲，乙两人独立的对同一目标射击一次.其命中率分别为 0.6 和 0.5.先已知目标被命中， 则它是甲射中的概率是 0.75 (3) 若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程 x2+x+1=0 有实根的概率是 0.8. 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1，标准差(均方差)为2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数 解：解：因相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，故只需确定Z的均值 ( )E Z和方差( )D Z. „„1 分 由于( )2 ()( )35E ZE XE Y， „„3 分 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准 1989 年 • 第 6 页 2( )。