2019届高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用学案 文 北师大版.doc

§7.4　基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)题组二　教材改编2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80 B．77 C．81 D．82答案　C解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.答案　25解析　设矩形的一边为x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三　易错自纠4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案　C解析　当x>0时，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.5．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)A．0 B.C．1 D.答案　A解析　y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)A．2 B．3C．4 D．5答案　D解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.题型一　利用基本不等式求最值命题点1　通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知01)的最小值为________．答案　2＋2解析　y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．命题点2　通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)A．8 B．6C．4 D．2答案　C解析　由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案　解析　因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝，因此对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝，故实数a的取值范围是.(2)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则＋的最小值为________．答案　解析　＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝y时等号成立，所以＋的最小值为.题型二　基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得当0b>0，有|f(a)|＝|f(b)|，则(i是虚数单位)的取值范围为(　　)A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)答案　C解析　因为f(x)＝lg x，由|f(a)|＝|f(b)|，可得a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，得ab＝1，所以＝＝a＋b＝a＋>2，故选C.(2)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)A．2 B．4 C．8 D．9答案　D解析　由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x＋2a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b)，半径分别为2和1，故有＝1，∴4a2＋b2＝1，∴＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝时，等号成立，∴＋的最小值为9.命题点2　求参数值或取值范围典例 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)A．9 B．12 C．18 D．24答案　B解析　由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为12.(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．答案　解析　对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝.∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，c＝3ab，则ab的最小值为________．答案　解析　在△ABC中，由A＋B＋C＝π，可知sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，∴2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，化简得－2sin Bcos C＝sin B，∵sin B>0，∴cos C＝－，∵c＝3ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即9a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时等号成立．∴ab≥，则ab的最小值为.(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则＋的最小值为________．答案　4解析　∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，∴A(1,1)，∵点A在直线mx＋ny－1＝0上(m，n>0)，∴m＋n＝1(m，n>0。