2.1一元二次方程定义.ppt

2021/6/161什么是方程？什么是方程的解（或根）？什么是方程？什么是方程的解（或根）？答：含有未知数的等式叫做方程使方程答：含有未知数的等式叫做方程使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解两边成立的未知数的值叫做方程的解曾学过哪些方程？曾学过哪些方程？分式方程，一元一次方程，二元一次方程分式方程，一元一次方程，二元一次方程什么叫做一元一次方程？什么叫做一元一次方程？2021/6/162解：设这块铁片的宽为解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的长，那么它的长 为（为（x+5) cm. 根据题意，得根据题意，得x（（x+5)=150. 去括号，得去括号，得 x2+5x=150.1 1、剪一块面积为、剪一块面积为150cm150cm2 2的长方形铁片，使它的长比宽的长方形铁片，使它的长比宽多多5cm5cm，这块铁片应怎样剪？，这块铁片应怎样剪？根据题意列方程根据题意列方程2021/6/1632 2、把面积为、把面积为4 4平方米的一张纸分割成如图的正方形平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长设正方形的边和长方形两部分，求正方形的边长。

设正方形的边长为长为x x，可列出方程，可列出方程 x xx xx x3 3x x2 2+3x=4+3x=42021/6/1643 3、据国家统计局公布的数据，浙江省、据国家统计局公布的数据，浙江省20012001年全省实现年全省实现生产总值生产总值67006700亿元，亿元，20032003年生产总值达年生产总值达92009200亿元，求亿元，求浙江省这两年实现浙江省这两年实现 生产总值的平均增长率生产总值的平均增长率 设年平设年平均增长率为均增长率为x x，可列出方程：，可列出方程：2500250050005000750075001000010000200120012002200220032003年份年份生产总值（亿元）生产总值（亿元）9200920076707670670067006700(1+x)6700(1+x)2 2=9200=92002021/6/165问问: :有什么相同的特点有什么相同的特点? ?共同点共同点: :(1)(1)两边都是整式两边都是整式; ; (2) (2)只含有一个未知数只含有一个未知数; ; (3)(3)未知数最高次数为未知数最高次数为2 2次次(2)(2)观察所列方程观察所列方程具有以上三个特点的方程称为具有以上三个特点的方程称为一元二次方程一元二次方程（（1）） x2+5x=150.能使一元二次能使一元二次能使一元二次能使一元二次方程两边相等方程两边相等方程两边相等方程两边相等的未知数的值的未知数的值的未知数的值的未知数的值叫一元二次方叫一元二次方叫一元二次方叫一元二次方程的程的程的程的解解解解( ( ( (或根或根或根或根) ) ) )2021/6/166辨一辨辨一辨☞☞判断下列方程是否为一元二次方程：判断下列方程是否为一元二次方程：① 10x① 10x2 2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) =9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) ③2x③2x2 2-3x-1=0 ( ) ( ) -3x-1=0 ( ) ( ) ⑤2xy-7=0 ( ) ⑥9x⑤2xy-7=0 ( ) ⑥9x2 2=5-4x ( ) =5-4x ( ) ⑦4x⑦4x2 2=5x ( ) ⑧3y=5x ( ) ⑧3y2 2+4=5y +4=5y ( ) ( ) √√√√×××√( )√2021/6/167(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)判断下列方程是一元二次方程吗判断下列方程是一元二次方程吗?√√√√√2021/6/168 一般地一般地一般地一般地, , , ,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x x x的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化的一元二次方程都可以化为为为为 , , , ,的形式的形式的形式的形式, , , ,我们把我们把我们把我们把axaxaxax2 2 2 2+bx+c=0 +bx+c=0 +bx+c=0 +bx+c=0 (a,b,c(a,b,c(a,b,c(a,b,c为常数，为常数，为常数，为常数，a a a a≠0≠0））））称为称为称为称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式. . . .为什么要限制为什么要限制a≠0a≠0，，，，b,cb,c可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？可以为零吗？想一想想一想其中其中axax2 ，，bx, cbx, c分别称为二次项，分别称为二次项，一次项，常数项一次项，常数项. .2021/6/169 ax2 + bx + c = 0注意注意:要确定一元二次方程的系数和常数项要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必须先将方程化为一般形式必须先将方程化为一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数 常数项常数项(a≠0) 在写一元二次方程的一般形式时在写一元二次方程的一般形式时, ,通常按未通常按未知数的知数的次数从高到低排列次数从高到低排列, ,即即先写先写二次项二次项, ,再写再写一次项一次项, ,最后是最后是常数项。

常数项2021/6/1610一般形式：一般形式：常数项常数项二次项，二次项， 二次项系数二次项系数一次项，一次项， 一次项系数一次项系数 2021/6/1611 把一元二次方程（把一元二次方程（把一元二次方程（把一元二次方程（x-√5 x-√5 ）（）（）（）（x+√5 x+√5 ））））+ +（（（（2x-12x-1））））2 2=0=0化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（化为一般形式，正确的是（ ））））A A、、5x5x2 2-4x-4=0-4x-4=0B B、、x x2 2-5=0-5=0C C、、5x5x2 2-2x+1=0-2x+1=0D D、、5x5x2 2-4x+6=0-4x+6=0A一定要把方程化解为一定要把方程化解为一般形式，才能确定！一般形式，才能确定！注意：注意：2021/6/1612例例1 1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式、把下列方程化成一元二次方程的一般形式, ,并写出它的二次项系数并写出它的二次项系数, ,一次项系数和常数项一次项系数和常数项. .1 1）移项，整理得）移项，整理得9x9x2 2+4x-5=0+4x-5=0 二次项系数是二次项系数是9 9，一次项系数是，一次项系数是4 4，常数项是，常数项是-5-5。

2 2）移项，整理得）移项，整理得3y3y2 2 –2 y+1=0 –2 y+1=0二次项系数是二次项系数是3 3，一次项系数是，一次项系数是-2 -2 ，常数项是，常数项是1 12021/6/16133 3）移项，整理得）移项，整理得4x4x2 2-5=0-5=0二次项系数是二次项系数是4 4，一次项系数是，一次项系数是0 0，常数项是，常数项是-5-54 4）移项，整理得）移项，整理得-3x-3x2 2+2x+5=0+2x+5=0二次项系数是二次项系数是–3–3，一次项系数是，一次项系数是2 2，常数项是，常数项是5 5注意：注意：1.1.要先化成要先化成 ax²+bx+c=0 ax²+bx+c=0 的一般形式的一般形式2.2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形等式变形3.3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项写系数时，要带上前面的符号写系数时，要带上前面的符号。

2021/6/1614 1 1、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：的二次项系数、一次项系数和常数项：方　　程方　　程一般形式一般形式二次项二次项系　数系　数一次项一次项系　数系　数常数项常数项3x3x2 2=5x-1=5x-1(x+2)(x-1)=6(x+2)(x-1)=64-7x4-7x2 2=0=0练一练练一练3x3x2 2-5x+1=0-5x+1=0x x2 2+x-8=0+x-8=0-7x-7x2 2+4=0+4=03 3-5-51 1-8-84 41 11 1-7-70 02021/6/1615方程方程方程方程一般形式一般形式一般形式一般形式二次项二次项二次项二次项系数系数系数系数一次项一次项一次项一次项系数系数系数系数常数常数常数常数项项项项练一练练一练2021/6/1616例例2 2、已知，关于、已知，关于x的方程的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程是一元二次方程, , 求求m m的取值范围的取值范围. .解：解：∵ ∵原方程是一元二次方程　　原方程是一元二次方程　　∴∴　　m≠m≠∴∴　　2 2m-m-1 1≠≠0 02021/6/1617 一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的的未知数的值叫一元二次方程的解解或或根根。

判断判断: :当未知数的值当未知数的值x=-1x=-1或或x=0x=0时，方程时，方程x²-2=xx²-2=x的两的两边是否相等边是否相等当当x=0x=0时，左边时，左边=0²-2=-2 =0²-2=-2 右边右边=0=0 因为：左边因为：左边≠≠右边右边解：当解：当x=-1x=-1时，左边时，左边= =（（-1-1））²-2=1-2=-1 -2=1-2=-1 右边右边=-1=-1 因为：左边因为：左边= =右边右边所以所以x=-1x=-1是方程的解是方程的解所以所以x=0x=0不是方程的解不是方程的解2021/6/16181、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：（（1 1））x x2 2-3x+2=0 (x-3x+2=0 (x1 1=1 x=1 x2 2=2 x=2 x3 3=3)=3)练一练练一练2 2、构造一个一元二次方程，要求：、构造一个一元二次方程，要求：（（1 1）常数项为零；（）常数项为零；（2 2）有一根为）有一根为2 22021/6/16193 3、已知关于、已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0的一的一个根是个根是3 3，求，求a a的值。

的值解：由题意得解：由题意得把把x=3x=3代入方程代入方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0得，得，3 32 2+3a+a=0+3a+a=09+4a=09+4a=04a=-94a=-9练一练练一练2021/6/1620axax２２＋＋bxbx＋＋c c＝０＝０(a, b(a, b，，c c为常数为常数, , a≠a≠００) )2 2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 １、一元二次方程的定义１、一元二次方程的定义 3 3、会用一元二次方程表示实际生活中的数、会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系量关系畅谈收获畅谈收获2021/6/2021/6/1622 已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程 ax ax2 2+bx+c=0 (a≠0)+bx+c=0 (a≠0)一个一个根为根为1, 1, 求求a+b+ca+b+c的值的值. . 解：由题意得解：由题意得思考思考: :若若 a+b+c=0, a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察, ,求出方程求出方程axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a≠0)(a≠0)一个根吗一个根吗? ? 解：由题意得解：由题意得∴∴方程方程axax2 2+bx+c=0 (a≠0)+bx+c=0 (a≠0)一个根是一个根是1.1.拓展拓展: :若若 a-b +c=0, a-b +c=0, 你能通过观察你能通过观察, ,求出方程求出方程axax2 2+bx+c=0 (a≠0)+bx+c=0 (a≠0)一个根吗一个根吗? ? 4a+2b +c=04a+2b +c=0拓展练习拓展练习2021/6/1623 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。