
高考数学-复习点拨-求二面角的一法三式.doc
3页求二面角的一法三式 向量法求二面角是一种独特的方法,因为它不但是传统方法的有力补充,而且还可以另辟溪径,解决传统方法难以解决的求二面角问题.向量法求二面角通常有以下三种转化方式:①先作、证二面角的平面角,再求得二面角的大小为;②先求二面角两个半平面的法向量〔注意法向量的方向要分布在二面角的内外〕,再求得二面角的大小为或其补角;③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线〔垂足不重合〕,又可转化为求两条异面直线的夹角. 例1 四棱锥的底面为直角梯形,,,底面,且,是的中点.(1) 证明:面面;(2) 求与所成的角;(3) 求面与面所成二面角的大小.证明:以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图1所示空间直角坐标系,那么. 〔1〕,即. 又由,且, 从而面. 又面,故面面. 〔2〕, 即与所成的角为. 〔3〕解法1:在上取点使, ,即, . 从而由,解得. 此时, 又有,. 又,即就是所求二面角的平面角. 故,即所求二面角为. 解法2:设,分别为平面与平面的法向量,且,和解得和取法向量为,故,即所求二面角为.例2 如图2,在四棱锥,底面为矩形,底面,是上一点,..求:(1) 异面直线与的距离;(2) 二面角的大小.解:以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,并设,那么. 〔1〕,,解得. ,即, 又,故是异面直线与的公垂线. 而,即异面直线与的距离为1. 〔2〕作,并设, ,且, 那么,可取. 再作于,并设, ,且,那么, 又取. 由,,可知与的夹角就是所求二面角的大小, ,即所求二面角为.。
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