初等函数的幂级数展开.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑初等函数的幂级数展开 一、 泰勒级数 在泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，那么： f''(x0)f(n)(x0)2（1） (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项 f(n+1)(?)（2） Rn(x)=(x-x0)n+1 （n+1）!其中，?在x与x0之间，称（1）为f在x0的泰勒展式 假设在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在x0邻近f可用（1）式右边的多项式来近似代替，假设函数f在x=x0处存在任意阶的导数，这时称形式为 f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? （3） 2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数，对于级数（3）是否能在x0邻近切当的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0邻近的和函数是否就是f，这就是下面要议论的问题 先看一个例子： 例1 由于函数 ?-x12?f(x)??e,x?0 ??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0，即 f(n)(0)=0,n=1,2,? 所以f在x=0的泰勒级数为 0+0x+020x+?+xn+? 2!n!鲜明它在???,???上收敛，且其和函数S（x）=0.由此看到，对一切x不等于0，都有f(x)不等于S(x). 这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身， 下面定理指出，具备什么条件的函数f,它的泰勒级数才能收敛于函数本身。

定理 设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间(x0-r,x0+r)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切得志不等式x-x0