线性控制系统教案5-Youla参数化.doc

第五章：Youla 参数化和H-¥最优控制The Youla Parametrization and H-¥ Optimal Control5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR)称是内部稳定的，或镇定 图5.1 标准反馈系统求出 (负反馈条件下)SFR意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： 与都是稳定有理分式，即设，，定义： 右互质(right coprime)如果 只对单模阵 成立，则称与右互质；这时称 是不可约的(irreducible)怎样判定与右互质？存在稳定分式矩阵使得如果 是不可约的(irreducible)，则的极点是的零点SFR表示不是唯一的按上面的表示，定理：充要条件是是单模阵，即不失一般性，可以设，进而，可以得到，如果镇定，则存在，使得，，且满足 所有控制器的参数化由上式可以得到，为任意稳定有理真分式，则所有控制器的Youla参数化表示为：如果是稳定的，则闭环系统内部稳定(镇定)当且仅当是(指数)稳定的按定理3.5，得出如果稳定，闭环系统稳定当且仅当稳定.)这时 ，，，灵敏度函数。

因此可得任意控制器为，即---所有控制器的Youla参数化表示稳定的传递函数集是一个环(ring)—stable fractional representations例5.1 （问题：上例中的MFD描述是怎样的？）所以检验：另一方面，，则 确定5.2 H-¥最优化问题 H-¥ Optimization problem(P185)无摄动时如图6.2(P186)，设使得使用反馈得到实际设计中通常要求：这就是H-¥最优化问题 H-¥ Optimization problem本章内容：1) 问题是怎样产生(引出)的？2) 怎样用状态空间算法求解.问题求解的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示)；然后从控制器中选出最优的5.2.1 一个有启发意义的例子：灵敏度最小A motivating example: sensitivity minimization(P187)所示，SISO系统，设是未知扰动，但频谱限制在，寻找一个控制器使得扰动对输出的影响最小---灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段将导致噪声放大，使稳定性(裕度)变差通常设计取权函数则最小化问题 。

如定义，则，，灵敏度函数 这时优化问题转化为 应用Youla参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题(任意取，保证系统正则稳定)该例显示：Youla参数化可以简化优化问题如果取幅值最小，则最优值是常值，即全通函数因此，选择权函数是至关重要的，这是一个敏感的(sensible)工程问题注意：有时最优解是不可实现的；即问题可能无解(解是非正则控制器)有的问题不用Youla参数化求解，不是H-¥问题5.3 H-¥控制问题公式化The H-¥ problem formulation5 几个H-¥问题的例子灵敏度最小 sensitivity minimization一般考虑是方形情况，当行比列多(列比行多)更复杂加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations(P190-191)，摄动的界依赖于与频率有关的函数由小增益定理，如果，则闭环系统鲁棒稳定转化为标准形式 则混合特性和鲁棒性目标Mixed performance and robustness objective为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability)，通常要求保持 不能同时实现。

在不同频率域上加权设5 性能鲁棒：一个未解决的(unsolved)问题有些重要的设计问题不能转化为H-¥问题，如性能鲁棒当存在未建模摄动时某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题：其中是对角的，可通过迭代求解或，给定求是标准H-¥问题，给定求是凸(convex)优化问题同时求最优的和不易实现5.4 Youla 参数化The Youla (or Q) parametrization5 fractional representations 分式表示推广矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)到(稳定)分式表示是稳定的传递函数，而且右互质，左互质重新定义单模阵(幺模阵unimodular)右互质：，定理5.1(Bezout’s theorem):和右互质当且仅当存在和使得线性系统的分式表示：设有能稳能检测实现，状态空间表示 取反馈， 则 应证明右互质(后面证)另一方面，(与书中推导不同) 进而，得 5 所有镇定控制器的参数化Parametrization of all stabilizing controllers正反馈系统 P103)内稳定等价于指数稳定。

定理5.2: 设稳定分式表示：，则闭环系统内稳定当且仅当和 是稳定的(即是单模阵)证明：与右互质，与有相同的稳定性定理5.3: 闭环系统内稳定，，，则可以被选择满足 (*)如果对应能稳能检测实现，则 定理5.4: 设，满足则的任意镇定控制器可以表示为这里，任意几点说明：① 每取一个，都是控制器；② 每一个控制器都能表示上面形式；③ 已知一个控制器，所有控制器都可求――――――――――――――――作业：1. 设系统传递函数为① 求的Smith-McMillan标准形.② 求右互质多项式矩阵，使.③ 求右互质稳定分式矩阵，使.④ 求使系统内部稳定的所有镇定控制器的参数化表示.。