Banach不动点理论及其应用.doc

不动点定理及其应用综述摘要本文主要研究Banach空间的不动点问题[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm积分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点*和y在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(*,y)的倍〔〕它的数学定义为：定义1.1 设*是度量空间，T是*到*的映射，假设存在，，使得对所有，有下式成立〔1.1〕则称T是压缩映射定理1.1〔不动点定理〕：设*是完备的度量空间，T是*上的压缩映射，则T有且只有唯一的不动点，即方程T*=*有且只有唯一解证明：设是*种任意一点，构造点列，使得〔1.2〕则为柯西点列实际上，〔1.3〕根据三点不等式，当时，〔1.4〕由于，故，得到〔1.5〕所以当时，，即为柯西列由于*完备，，使得，又由三点不等式，有〔1.6〕上面不等式右端在时趋于0，故，即不动点的唯一性：假设同时存在,有成立，则〔1.7〕由于，所以必有，即。

证毕定理中的映射T是定义在整个*上的，但实际上有些问题中遇到的映射T只在*的一个子集上有定义或压缩性质为了适应这种情形的需要，定义*上的闭子集的不动点定理如下定理1.2 设是完备的T是的映射假设在*的闭球上T是压缩的，并且满足条件〔1.8〕此处是满足的常数，则T在Y有唯一的不动点证明：Y作为的闭集按*的距离成一完备距离空间，倘能证明，则T就是上的压缩映射，根据不动点定理即可得证实际上，任取，令，则，可见，证毕应用压缩映射原理需要注意的几个方面〔1〕根据证明可知，为了获取不动点，可以从*中的任意一点出发〔2〕在T满足〔1.9〕的条件下，T在*上不一定存在不动点例：令，T是从R到R的映射设，则〔1.10〕根据微分中值定理，必定存在，使得，故〔1.11〕即，但是当时，方程无解，因此，映射T没有不动点倘假设给满足〔〕的算子加上适当的限制，便能保证T有不动点定理1.3 设完备，映射满足条件〔〕假设是列紧集，则T有唯一的不动点证明：取的闭包它是*的自列紧集〔即紧致性〕，而且有在上定义一个实值函数〔1.12〕是上的连续函数它在上到达最小值，即存在使〔1.13〕则假假设不然，即，考虑和，它们都属于而由〔〕得〔1.14〕得到矛盾，不动点的存在性证得。

T的不动点是唯一的假设有使得，则一方面有，另一方面由〔〕有，矛盾，可见〔3〕压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少例：设具有由R诱导出的距离，定义T如下：〔1.15〕T是压缩映射，但是没有不动点〔4〕方程的不动点在大多数情况下实际上不易求得，因此常用作为其近似值这样就要估计与的误差假设用近似代替，由于，则其误差为〔1.16〕这就是误差估计式二、隐函数存在定理和皮卡定理定理2.1〔隐函数存在定理〕：设函数在带状域〔2.1〕中处处连续，且处处有关于y的偏导数，如果还存在常数m和M，满足〔2.2〕则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：〔2.3〕证明：在完备空间上作映射A，使对任意的函数，有按照定理条件，是连续的，故也连续，即所以A是到自身的映射A是压缩映射实际上，对于，根据微分中值定理，存在，满足〔2.4〕由于，所以令，则有，且〔2.5〕按中距离的定义，即知〔2.6〕因此，A是压缩映射由不动点定理，存在唯一的满足，即，也就是说定理2.2〔皮卡定理〕：设是矩形〔2.7〕上的二元连续函数，设，，又在D上满足利普希茨条件，即存在常数K，使对任意的，有〔2.8〕则方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解，其中〔2.9〕为了证明本定理，首先有如下结论和定理：结论：C[a,b]是完备的度量空间定理2.3 完备度量空间*的子空间M是完备空间的充要条件为M是*上的闭子空间〔皮卡定理〕证明：设表示区间上连续函数全体按距离所成的度量空间，由上面结论，是完备度量空间，又令表示中满足条件〔2.10〕的连续函数全体所成的子空间，不难看出是闭子空间，由上面定理知，是完备度量空间。

令〔2.11〕则T是到的映射事实上，因，所以假设，则当时，，又因是D上二元连续函数，所以上式右端积分有意义又对一切，〔2.12〕所以，当时，下面证明T是压缩映射，实际上，由条件〔2.8〕，对中任意两点*和v，有〔2.13〕令，则，且〔2.14〕所以T是上的压缩映射由不动点定理，存在唯一的，使得，即〔2.15〕且两边对t求导，即得这说明是方程满足初值条件的解另外，设也是此方程满足初值条件的解，则〔2.16〕因而，且是T的不动点，由不动点唯一性必有，即方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解，证毕三、利用Banach不动点定理证明区间套定理定理3.1〔区间套定理〕：假设闭区间列具有如下性质(1) (2) 则存在唯一的，使得在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明证明：由条件〔2〕，不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间按距离是完备距离空间作映射：〔3.1〕于是对任意的，有，从而是到自身的映射对于，有〔3.2〕令，由于，于是，从而且，因此〔3.3〕所以是到自身的压缩映射由Banach不动点定理可知，在上存在唯一不动点，即存在，使得，因，故存在假设另存在，则有，，于是〔3.4〕从而，因此，证毕。

四、不动点定理解线性代数方程组定理4.1 设有线性方程组，其中是矩阵，是未知向量，是的n维列向量，假设矩阵A满足条件〔4.1〕则方程组有唯一的解证明：令，对于任意的，，定义它们的距离为，对于任意的，定义映射为：因为〔4.2〕故T为压缩映射，由的完备性知，T存在唯一的不动点，因此，即方程存在唯一解五、积分方程解的存在唯一性定理5.1〔第二类Fredholm积分方程的解〕设第二类Fredholm线性积分方程〔5.1〕其中为参数，对充分小的，则〔1〕当，是定义在，的连续函数时，〔5.1〕有唯一的连续解，而且是迭代序列〔5.2〕的极限，其中可取中的任意函数；〔2〕当，积分核是定义在，的可测函数，满足〔5.3〕〔是定义在，的可积函数〕时，〔5.1〕有唯一的解证明：〔1〕令为〔5.4〕由于，分别在和上连续，当，，即T是到自身的映射，并且算子T的不动点就是积分方程的解一般情况下，T不是压缩映射，但当时，T为压缩映射，其中事实上，对中的任意两元素*,y有〔5.5〕可见，当时，T为压缩映射，由于为完备空间，故T存在唯一的不动点，因此，时，积分方程〔5.1〕有唯一的连续解〔2〕令为〔5.6〕由〔5.7〕以及T的定义可知，T是由到自身的映射，取充分小使得〔5.8〕于是〔5.9〕故T为压缩映射，由不动点定理知，T存在唯一的不动点，即积分方程〔5.1〕有唯一的平方可积解。

证毕考虑Volterra积分方程〔5.10〕其中，在三角形域上连续推论5.2 设*是完备距离空间，,如果存在常数和正整数n,使得，有〔5.11〕则A在*中存在唯一不动点定理5.3〔Volterra定理〕，则积分方程〔5.9〕有唯一的连续解证明：记令〔5.12〕则易知，且对，有〔5.13〕注意这里未必小于1，故A并不一定是压缩映射但可以证明：当n充分大时，是压缩映射，事实上，〔5.14〕〔5.15〕应用归纳法可以证明：，有〔5.16〕由于，故当n充分大时，有〔5.17〕即A是压缩映射，由推论5.2知，A有唯一的不动点，即积分方程〔5.10〕有唯一的连续解根据以上证明可看出，Banach空间不动点理论应用于微分方程，积分方程，线性方程组解的存在唯一性的证明将十分简便参考文献[1]程其襄，奠宙，国强等.实变函数与泛函分析根底[M].：高等教育，2021. [2]永生，王昆扬.泛函分析讲义[M].：师大学，2007.[3]许天周.应用泛函分析[M].：科学，2021.[4]广民，三阳.应用泛函分析原理[M].：电子科技大学，2003.[5]何瑞强.Banach不动点定理的应用[J].师大学学报，May.2021，No.2,61-62.. z.。