圆锥曲线的分类探讨_周继业.doc
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锥曲线的分类探讨宜昌市第一中学 周继业寸商要］圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，它体现了解析几何数与形的相互转化，展示了 解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现了辨证思想的丰富内涵.本文重点通过截痕和二元二次方程两种观点证明 了二次曲线.分类的惟一性，即有且仅有椭圆、抛物线、双曲线三种曲线［关键词］圆锥曲线.；截痕；二元二次方程；预备知识：圆锥曲线的定义（椭圆、双曲线、抛物线）椭圆定义I ：若Fi, F2是两定点，P为动点，且+ = 2为常数）则P点的轨迹是椭圆.定义II：若B为定点,1为定直线，动点P到F的距离与到定直线1的距离之比为常数e（O 0<3<-，可以I 2J得到平面E的方程为 一= tanzUc）,即：），・cos9-（z-c）・sin9 = 0 （如图1.1）则平而E与圆锥T的交线方程为:)9 9 7 4 9T + 广=a ・tarr ay ・ cos Q-(z-c)・ sin 0图1.1 (1)我们将原坐标系S三平移到新的坐标原点的原坐标为(0, 0, C),因此,空间中任意一点p(x, y, z)与新坐标p ( /,)，")之间的关系为(x, y, z)= ( +c ), ( 1)式得：M + y2=tan26/-(f+ c)2[)"• cos Q - • sin 0 = 0 (2)/ \71在此基础上，我们再将坐标系5 = (
)，将其代入(2)式得：・sin一 z ・cos 0y = tan2 6/ •()" • cos 9 + z" • sin 0 + c)~\ ，即：k"=oxn~ + ^sin2 0-cos2 0- tan2 □). y" 一(2c • cos0・ tan? a^ y^-c2 - tan2 a = 0 *z〃 = 0显然，(3)式表示平面E和圆锥T的交线落在x",y”平面上，且交线轨迹方程为：x2 +(sin?一cos ^-tan2 □)•)尸-(2c-cos^-tan2 〃). y"-/ - tan2 a = 0(4)因此圆锥曲线的分类问题转化为分析c = 0和cUO两种情形：（结合预备知识） 1. 1. 1第一种情形（C乂0）1） 当9 = 8时，）"项的系数为0,图形为抛物线；2） 当6>5时，），"2项的系数为正数，图形为椭圆；3） 当0<8时，）广项的系数为负数，图形为双曲线;1. 1. 1 第二种情形(c = 0) (4)式变为 r" +(sin，一cos? ^ tan2 □)• y" =01） 当0 = d时，J，”项的系数为0,图形为两条重合直线；2） 当6>5时，），“2项的系数为正数，图形为空间里的一个孤立点；3） 当6<5时，），"2项的系数为负数，图形为两条相交宜线；1.2二元二次方程观点圆锥曲线的方程是一-个二元二次方程式，我们任给一个二无二次方程式:ax^ + hxy + C)广 +Jjc + ey + f =0 (5)该方程的图形一定是椭圆、抛物线或双曲线吗？我们针对b = 0和b尹0两种情形讨论:1.2. 1第一种情形b = 0 （5）式变为白尸+0,2+公+ ，+ /=0(6)(1) .当 ac=0 时, 线及空集合)・(2) .当 ac>0 时,(3) .当 ac〈0 时,我们称为抛物线型，其图形为抛物线（含退化情形：两条平行直线，两条重合直我们称为椭圆型，其图形为椭圆或圆（含退化情形：孤立点与空集合）. 我们称为双曲线型，其图形为双曲线（含退化情形：两条相交宜线）.(1) .当 ac=0 时,令 aNO, c=0(a=0, c乂0)，贝ij (6)式变为：ax2 + dx + ey + f=O即：a x + — = -ey - / + —,若 eKO,可得:V 2a) • ， 4ad }Cl X H Id2-4af4ae识可得到其图形为抛物线.若e = 0,可得:项一 4#4ae在d2 -4af ) 0, d2 -4af =0,d2-4af （0时，其图形分别为两条平行直线，两条重合直线及空集合.（2）.当ac尹0时，我们将原坐标系S三（。 《）平移到新原点〃，令的原坐标为（h,k），则平 面上任意一点p（x,y）与新坐标P‘（x,y）之间的关系为:（x,y）=（U+人，4+ R）,则（6）式变为: o（V + /?）~+c、（" + k）~+d（V+ /?） + 0时，①若广，则（8）式变为：七八+七」=1 .所以，在J Ja c土〉0, 士〉时，图形为椭圆或圆；在七〈0,七〈0时，图形为空集合.②若广=0,则（8） a c a c式变为3）~+c、（），）=0,其图形为孤立点.* V （vV2）.当ac<0时，①若/^0,则（8）式变为：T~ + %」= 1,其图形为双曲线.②若f = 0,a c则（10）式变为：3）+c、（y）~ =0,其图形为两条相交直线.1.2.2第二种情形M0_ / \我们将原坐标系s三（《）绕原点旋转一个有向角a o 公），因此，平面上任意一点P（x,y）与新坐标P（，,y）之间的关系为 （x, y） = • cos0-y • sin 0.x • sin 04- yf -cos0），代入（5）式得到：q3• cos0-y sin+/?（%• cos0-yf• sin0）（/• sin0 + yr• cos0） + c（x‘• sin0 + y・cos0） +d（x・cosQ_y・sin9） + e（x・sin9 +）"・cosg） + /> =0 （9）整理后得到 xy项的系数为：一2• sin• cos 0 + b （cos?一 sin? + 2c、• sin• cos 0 -Z?・cos20-（Q-c）・sin20,令：人・cos 20 -sin 20 = 0, W ctg20 - —^―-,因为 y = cfgx 在（0,勿）上为一一对应函数，所以在（0,勿）内必存在唯一的角20 （o<20<7r）使得cg = 二成立，即存在唯一的角q能够让ry项的系数为o,因此（9）式的图形种类与第一种情形相同.。
