球面距离计算公式的推导及举例教资材料.doc

球面距离的计算及其计算公式 在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长 （1）但，即 （2）将（2）代入（1）得 （3） ∵ ，由（2）式知.由于，故只需证明函数在内为单调递减即可. ∴ ,∵当时，有）∴ 在单调递减,由（3）式不难得到，即. 故大圆劣弧最短 球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有（弧度）A、B间的球面距离为： 证明：如图1，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、. 则在中，由余弦定理，得：故又，比较上述两式，化简整理得：，从而可证得关于与的两个式子. 计算球面距离的三种类型现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知，两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，的球面距离．分析：要求两点，的球面距离，过，作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解：作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，．由于地轴平面．∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为．2．位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，的球面距离．（设地球半径为）．解：经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬，东经，地位于北纬，东经，求，两地之间的球面距离．（见图4）解： 设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．\△中，由纬度为知，,．△中，，∴，,∴．注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．1思维。