考研数二真题及解析.doc

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)(1) 已知当时，与是等价无穷小，则( )(A) ．　 (B) ．　 (C) ． (D) ． (2) 已知在处可导，且，则=( )(A) ． (B) ． (C) ． (D) 0．(3) 函数的驻点个数为( )(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．(4) 微分方程的特解形式为( ) (A) ． 　 　(B) ． (C) ． 　　　　　 　　 (D) ．(5) 设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (B) (C) (D) (6) 设，，，则的大小关系是( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ．(7) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ．(8) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为( ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)(9) ．(10) 微分方程满足条件的解为．(11) 曲线的弧长．(12) 设函数则．(13) 设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分．(14) 二次型，则的正惯性指数为 ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)已知函数，设试求的取值范围． (16) (本题满分11分)设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点．(17) (本题满分9分)设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求． (18) (本题满分10分)设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若求的表达式．(19) (本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n，都有 成立．(II)设，证明数列收敛． (20) (本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的．(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为，水的密度为)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图１(21) (本题满分11分)已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分．(22) (本题满分11分)设向量组，不能由向量组，，线性表示． (I) 求的值；(II) 将由线性表示．(23) (本题满分11分)为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求矩阵．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)(1)【答案】(C)．【解析】因为 ．所以，故答案选(C)． (2)【答案】(B)．【解析】 ．故答案选(B)．(3)【答案】(C)．【解析】 　 令，得，故有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根．所以非齐次方程有特解,非齐次方程有特解，故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解(5)【答案】(A)．【解析】由题意有， 所以，，，即点是可能的极值点．又因为，，，所以，，，，根据题意由为极小值点，可得且，所以有由题意，所以，故选(A)．(6)【答案】(B)．【解析】因为时， ，又因是单调递增的函数，所以．故正确答案为(B)．(7)【答案】 (D)．【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故，即，．由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故，即故．因此，，故选(D)． (8)【答案】(D)．【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且．由此可得，即，这说明是的解．由于，，所以线性无关．又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量．而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)(9)【答案】．【解析】原式=．(10)【答案】．【解析】由通解公式得 ．由于故=0．所以．(11)【解析】选取为参数，则弧微元所以．(12)【答案】．【解析】原式 ．(13)【答案】．【解析】原式 ．(14)【答案】2．【解析】方法1：的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型对应矩阵为． ，故．因此的正惯性指数为2．方法2：的正惯性指数为标准形中正的平方项个数． ，令则，故的正惯性指数为2．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)【解析】如果时，，显然与已知矛盾，故．当时，又因为．所以即．又因为所以，即，综合得． (16) (本题满分11分)【解析】因为，令得，当时，，，此时，所以为极小值．当时，，，此时，所以为极大值．令得，．当时，，此时；当时，，此时．所以曲线的凸区间为，凹区间为，拐点为．(17) (本题满分9分)【解析】．因为在可导，且为极值,所以，则． (18) (本题满分10分)【解析】由题意可知当时，，，由导数的几何意义得,即，由题意，即 ．令，，则，，即，，即．当，，代入得，所以 ，则．又因为，所以．(19) (本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设显然在上满足拉格朗日的条件，所以时，，即：，亦即：．结论得证．（II）设．先证数列单调递减．，利用（I）的结论可以得到，所以得到，即数列单调递减．再证数列有下界．，，．得到数列有下界．利用单调递减数列且有下界得到收敛． (20) (本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分　+==．　　　　　　(II) 所做的功为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．(21) (本题满分11分)【解析】因为，，所以．．(22) (本题满分11分)【解析】(I)由于不能由线性表示，对进行初等行变换：．当时，，此时，不能由线性表示，故不能由线性表示．(II)对进行初等行变换：，故，，．(23) (本题满分11分)【解析】(I)由于，设，则，即，而，知的特征值为，对应的特征向量分别为，．由于，故，所以．由于是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设对应的特征向量为，则 即解此方程组，得，故对应的特征向量为．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：．令，则， ．。