线性代数知识要点总结(45学时20130417).doc

1《《（吴赣昌）线性代数（（吴赣昌）线性代数（45 学时）学时） 》》知识要点总结：（知识要点总结：（20130417 完成）完成）第第 1 章章 行列式行列式1、、二阶和三阶行列式的计算二阶和三阶行列式的计算----对角线法则（四阶及以上不可用）对角线法则（四阶及以上不可用）2、、逆序与逆序数的计算方法（向前比较法或向后比较法）逆序与逆序数的计算方法（向前比较法或向后比较法）3、、排列的奇偶性的判断排列的奇偶性的判断4、、对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性5、、n 阶行列式的定义阶行列式的定义----来自不同行不同列元素相乘积的代数和（来自不同行不同列元素相乘积的代数和（P7 定义定义 4）注意：某一项符号的决定在组成该项的各因子，行标为自然排）注意：某一项符号的决定在组成该项的各因子，行标为自然排列时，由各因子列标排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正列时，由各因子列标排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号6、、上三角形行列式的计算上三角形行列式的计算----由主对角线各元素相乘得（由主对角线各元素相乘得（P8 例例 4））7、、行列式的行列式的 5 个性质：个性质：【【特别注意记号的正确写法特别注意记号的正确写法】】（（1））转置，行列式的值不变转置，行列式的值不变（（2））换行（或列）换行（或列） ，行列式改变符号，行列式改变符号（（3））某行（或列）可以提取公因子某行（或列）可以提取公因子（（4））某行（或列）若为两元素之和，可以拆为两个行列式之和某行（或列）若为两元素之和，可以拆为两个行列式之和（（5））某行（或列）的某行（或列）的 K 倍，加到另一行（或列）倍，加到另一行（或列） ，值不变，值不变8、、行列式的元素，余子式，代数余子式的定义以及关系行列式的元素，余子式，代数余子式的定义以及关系9、、行列式的展开定理：行列式的展开定理：（（1））行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以自己对应的代数余行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以自己对应的代数余子式，其和就是行列式的值子式，其和就是行列式的值2（（2））行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以其他行（或列）对行列式的某一行（或列）的各个元素分别乘以其他行（或列）对应元素的代数余子式，其和等于零应元素的代数余子式，其和等于零10、行列式计算的常用方法：、行列式计算的常用方法：【【特别注意记号的正确写法特别注意记号的正确写法】】（（1））利用行列式的定义利用行列式的定义（（2））利用行列式的性质（主要是性质利用行列式的性质（主要是性质 5 和性质和性质 2）） ，化为上三角形行列，化为上三角形行列式式（（3））利用行列式的展开定理利用行列式的展开定理（（4））实际上，常是先利用行列式的性质实际上，常是先利用行列式的性质 5，将某行（或列）化为零元，将某行（或列）化为零元素较多，然后利用行列式的展开定理，对此行（或列）进行展开，达素较多，然后利用行列式的展开定理，对此行（或列）进行展开，达到降阶的目的，从而计算得到结果。

到降阶的目的，从而计算得到结果可以重复反复使用上述步骤可以重复反复使用上述步骤11、克莱姆法则：先求出系数行列式、克莱姆法则：先求出系数行列式 D 的值，在分别计算出对应于各的值，在分别计算出对应于各个未知量的行列式个未知量的行列式 D1，，D2，，... ，在，在 D 不为零的情况下，进行除法运不为零的情况下，进行除法运算，从而得到未知量的结果算，从而得到未知量的结果x1=D1/D, x2=D2/D, ...第第 2 章章 矩阵矩阵1、、矩阵的概念（矩阵的概念（m××n 矩阵，行矩阵，列矩阵，单位阵，零矩阵等）矩阵，行矩阵，列矩阵，单位阵，零矩阵等）2、、矩阵的运算（相等，加，减，数乘矩阵，矩阵相乘，矩阵的转置，矩阵的运算（相等，加，减，数乘矩阵，矩阵相乘，矩阵的转置，方阵的行列式及其有关性质，等）方阵的行列式及其有关性质，等）3、、逆矩阵的定义（余子式矩阵，代数余子式矩阵，伴随矩阵等）和有逆矩阵的定义（余子式矩阵，代数余子式矩阵，伴随矩阵等）和有关性质关性质4、、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换【【三种：换行（或列）三种：换行（或列） ，某行（或列）提取公因，某行（或列）提取公因3子，某行（或列）的子，某行（或列）的 K 倍加到另一行（或列）倍加到另一行（或列） 】】 ，初等矩阵（行的三种，初等矩阵（行的三种初等矩阵和列的三种初等矩阵）初等矩阵和列的三种初等矩阵） ，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵等；利用矩阵的初等行变换求逆矩阵，利用矩阵的初等行变换形矩阵等；利用矩阵的初等行变换求逆矩阵，利用矩阵的初等行变换求解矩阵方程（三种：求解矩阵方程（三种：, , BAX BXA CAXB 5、、矩阵的秩的定义（矩阵的秩的定义（K 阶子式）阶子式） ，利用矩阵的初等行变换求矩阵的秩，利用矩阵的初等行变换求矩阵的秩第第 3 章章 方程组方程组1、、齐次线性方程组有非零解的判断准则：齐次线性方程组有非零解的判断准则：（方程组只有唯一（方程组只有唯一nAR)(零解）零解）（方程组有无穷多非零解）（方程组有无穷多非零解） 【【未知量个数未知量个数】】nAR)(n2、、非齐次线性方程组解的判断准则：非齐次线性方程组解的判断准则：（方程组有解）（方程组有解） ，，)()(BRAR（方程组无解）（方程组无解） ；；（方程组有唯一解）（方程组有唯一解） ，，)()(BRARnBRAR)()(（方程组有无穷多解）（方程组有无穷多解） 【【未知量个数未知量个数】】nBRAR)()(n3、、向量间线性关系的判定：线性组合，线性相关与线性无关，线性表向量间线性关系的判定：线性组合，线性相关与线性无关，线性表示，向量组中的极大线性无关组，向量组中的其它向量如何由极大无示，向量组中的极大线性无关组，向量组中的其它向量如何由极大无关组向量线性表示等关组向量线性表示等4、、线性方程组的解空间，解向量，基础解系，解的一般表示式等线性方程组的解空间，解向量，基础解系，解的一般表示式等5、、求解齐次线性方程组，求解非齐次线性方程组（通解形式）求解齐次线性方程组，求解非齐次线性方程组（通解形式）第第 4 章章 矩阵的特征值矩阵的特征值1、向量的内积、向量的内积2、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的特征值与特征向量3、相似矩阵与矩阵的对角化、相似矩阵与矩阵的对角化 （（20130417））。