高一数学必修一重难点讲解.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑高一数学必修一重难点讲解 高中必修一一些重点 函数值域求法十一种 .......................................................................................................... 2 复合函数 .............................................................................................................................. 9 一、复合函数的概念 .................................................................................................... 9 二、求复合函数的定义域： ........................................................................................ 9 复合函数单调性相关定理 ................................................................................................ 10 函数奇偶性的判定方法 .................................................................................................... 10 指数函数： ........................................................................................................................ 12 幂函数的图像与性质 ........................................................................................................ 15 1 函数值域求法十一种 1. 直接查看法 对于一些对比简朴的函数，其值域可通过查看得到。

例1. 求函数 解：∵x?0 y?1x的值域 1?0x∴ 鲜明函数的值域是：(??,0)?(0,??) 例2. 求函数y?3?x的值域 解：∵x?0 ??x?0,3?x?3 故函数的值域是：[??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最根本的方法之一 2 例3. 求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域 2解：将函数配方得：y?(x?1)?4 ∵x?[?1,2] 由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 1?x?x2y?1?x2的值域 例4. 求函数 解：原函数化为关于x的一元二次方程 (y?1)x2?(y?1)x?0 （1）当y?1时，x?R ??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0 13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?? 故函数的值域为? 例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域 22解：两边平方整理得：2x?2(y?1)x?y?0（1） ∵x?R 2∴??4(y?1)?8y?0 解得：1?2?y?1?2 但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2 22由??0，仅保证关于x的方程：2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上， 2 ?13??2,2??。

即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?可以采取如下方法进一步确定原函数的值域 ∵0?x?2 ?y?x?x(2?x)?0 ?ymin?0,y?1?2代入方程（1） 解得： x1?2?2?2422?[0,2] 2?2?242x1?2即当时， 原函数的值域为：[0,1?2] 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的片面剔除 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域 3x?4 例6. 求函数5x?6值域 x?解：由原函数式可得：那么其反函数为： 4?6y5y?3 y?4?6y3x?5x?3，其定义域为：5 3?????,?5? 故所求函数的值域为：? 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域 ex?1y?xe?1的值域 例7. 求函数 ex?解：由原函数式可得： x∵e?0 y?1?0y?1∴ y?1y?1 解得：?1?y?1 故所求函数的值域为(?1,1) cosxsinx?3的值域。

例8. 求函数 解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为： y?y2?1sinx(x??)?3y 3ysinx(x??)?y2?1 即 ∵x?R ∴sinx(x??)?[?1,1] 3 ?1?即解得： 3yy?1?2?1 22?y?44 ?22??,??44??? 故函数的值域为? 6. 函数单调性法 例9. 求函数y?2x?5?log3x?1(2?x?10)的值域 解：令y1?2,y2?log3x?1 那么y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数 当x=2时， x?5ymin?2?3?log32?1?18 5当x=10时，ymax?2?log39?33 ?1??8,33?? 故所求函数的值域为：? 例10. 求函数y?x?1?x?1的值域 2y?x?1?x?1 解：原函数可化为： 令y1?x?1,y2?x?1，鲜明y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数 所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数 2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值2，原函数有最大值2鲜明y?0，故原函数的值域为(0,2] ?2 7. 换元法 通过简朴的换元把一个函数变为简朴函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数y?x?x?1的值域 解：令x?1?t，(t?0) 2那么x?t?1 13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵ 又t?0，由二次函数的性质可知 当t?0时，ymin?1 当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??) 2 例12. 求函数y?x?2?1?(x?1)的值域 2解：因1?(x?1)?0 2即(x?1)?1 4 故可令x?1?cos?,??[0,?] ∴ y?cos??1?1?cos2??sin??cos??1 ?2sin(???4)?1 ∵ 0????,0????54?4? ??22?sin(???4)?1?0?2sin(???4)?1?1?2 故所求函数的值域为[0,1?2] x3?x例13. 求函数 y?x4?2x2?1的值域 解：原函数可变形为： ?12?2x1?x2y1?x2?1?x2 2x1?可令x?tg?，那么有1?x2sin2?,x2?1?x2?cos2? ?y??12sin2??cos2???14sin4? 当 ??k?2??8时，y?1max4 当 ??k?2??18时，ymin??4 而此时tan?有意义。

?故所求函数的值域为???11?4,4?? ?1)x??例14. 求函数y?(sinx?1)(cosx， ??????12,2??的值域解：y?(sinx?1)(cosx?1) ?sinxcosx?sinx?cosx?1 令sinx?cosx?t，那么sinxcosx?12(t2?1) y?12(t2?1)?t?1?12(t?1)2 由t?sinx?cosx?2sin(x??/4) x??且 ??????12,2?? 2可得：2?t?2 3232∴当t?2时，ymax?2?2，当 t?2时，y?4?2??3?2,3?2?故所求函数的值域为??422??? 5 — 7 —。