高中数学统计1.4.1平均数中位数众数极差方差1.4.2标准差学案.doc

１.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 １.4.2 原则差1．会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、原则差.(重点)２.方差、原则差在实际问题中的应用.（难点)[基本·初探]教材整顿１ 平均数、中位数、众数阅读教材Ｐ25~P26“4.２原则差”以上部分,完毕下列问题.1.众数的定义一组数据中浮现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一种,也可以是多种.２.中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处在最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．3.平均数的定义如果有n个数x１,x2，…，xn,那么＝，叫作这n个数的平均数.判断（对的的打“√”,错误的打“×”)(１)当样本中的数据都增长相似的量时，平均数不变．(　　)(２)一组样本数据的众数只有一种．( )（3)样本的中位数可以有两个值.(　　)【解析】　(1)×,根据平均数的定义可知错误．（2)×，根据众数定义知众数可以一种，也可以多种．(３）×，由中位数的定义可知错误．【答案】 (1）× (2）×　（３)×教材整顿2　极差、方差、原则差阅读教材Ｐ２6“４.2原则差”如下至P28“例3”以上部分，完毕下列问题.１．原则差、方差(1)原则差的求法:原则差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表达.ｓ＝.（２)方差的求法:原则差的平方s２叫作方差.s2＝[(x1-)2+（x2－)2＋…+(xn－)2]其中,xn是样本数据，n是样本容量,是样本均值．(3)方差的简化计算公式:s２=[(ｘ+x＋…+ｘ）-n2]=（x＋x＋…+x)-2.2．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．３．数字特性的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散限度.判断（对的的打“√”，错误的打“×”)（1)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定．(　 )(2)数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定．( 　)(3）样本的原则差和方差都是正数．（ ）【解析】 (１)√,极差与原则差都反映了样本数据的波动性和离散限度.(２）×,平均数与数据的波动性无关.(３)√,根据原则差与方差的公式可知.【答案】　(1)√ (２)× （2)√[小组合伙型]平均数、中位数、众数的计算 据理解,某公司的33名职工月工资(单位:元)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职工人数112１5320工资5 ５0０５ 0０03 500３ 00０2 ５００2 0０01 ５00(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2）假设副董事长的工资从５ 00０元提高到２0 000元，董事长的工资从5 500元提高到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你觉得哪个记录量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的见解．【精彩点拨】 一方面根据众数、中位数、平均数的概念进行求解,然后再根据众数、中位数、平均数反映的数字特性来进行讨论.【自主解答】　(1）平均数是＝1　500+≈1 500+５9１=2 ０９1(元)．中位数是1 500元,众数是１ 50０元.(2)平均数是′=1 5０0＋≈1　5０0＋1 788＝３　2８8(元),中位数是1 ５00元，众数是１ 500元.(３)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，由于公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,因此平均数不能反映这个公司员工的工资水平．中位数、众数、平均数的应用要点:中位数、众数反映了一组数据的“中档水平”“多数水平”,平均数反映了数据的平均水平,我们需根据实际需要选择使用．(1)求中位数的核心是将数据排序,一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数也许在所给数据中，也也许不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述数据的集中趋势.(2)拟定众数的核心是记录各数据浮现的频数，频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次反复浮现时，众数往往更能反映数据的集中趋势.(３)平均数与每一种样本数据均有关,受个别极端数据(比其她数据大诸多或小诸多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体.[再练一题]1.在一次中学生田径运动会上,参与男子跳高的１7名运动员的成绩如表所示：成绩(单位:m)1.501.６01.651.701．751.801.8５1.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.【解】 在17个数据中，1.７5浮现了4次，浮现的次数最多，即这组数据的众数是１.7５.上面表里的1７个数据可当作是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据１．７0是最中间的一种数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是=(1．5０×2+１.６0×3＋…+１．9０×1)＝≈1．69．因此这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1．75,1.70，１.６9.方差、原则差的计算 　甲、乙两机床同步加工直径为１00　cm的零件，为检查质量，各从中抽取6件测量,数据为: 【导学号：63580009】甲：9９,１０0,９8,1０0，１00,１03;乙:9９，10０,10２，99，１00,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2）根据计算成果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.【精彩点拨】 (1)分别运用求平均数和求方差的公式求解.(2）从平均数与方差两方面比较．【自主解答】　(1)甲＝(99+1０0＋9８+100＋100+103)=10０，乙=(９9+１０0＋102＋99＋1００＋100)＝１00.s＝[(99－100）2＋(１00－10０)2+(98-10０）2＋(10０-１00)2+（1０0-100)2+(１03－100）2］＝,ｓ＝[(99－1０0）２+(10０-１00）2+(10２-100）２＋(99－100）2+(１00－１00)2+（100-1００)２]＝1．(2）两台机床所加工零件的直径的平均值相似，又s＞s,因此乙机床加工零件的质量更稳定.1．计算原则差的五个环节:(１)算出样本数据的平均数.（2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：ｘi－(i＝1,2，３，…，n)．(３）算出(2)中xi－(i＝1,２,3,…,ｎ）的平方．(４)算出(３)中ｎ个平方数的平均数，即为样本方差．(5)算出(４)中方差的算术平方根，即为样本原则差.2．原则差（方差)的两个作用：(1)原则差(方差)越大，数据的离散限度越大；原则差(方差）越小,数据的离散限度越小.(２)在实际应用中,常常把平均数与原则差结合起来进行决策．在平均值相等的状况下，比较方差或原则差以拟定稳定性.［再练一题］2．对划艇运动员甲、乙两人在相似的条件下进行了６次测试,测得她们的最大速度(单位:m/ｓ）的数据如下:甲：27,3８,30，３7，３５，31；乙：３3,29，3８,34,２8,３6.根据以上数据,试估计两人最大速度的平均数和原则差,并判断她们谁更优秀．【解】　甲＝×(2７＋3８+30＋37＋35+３1）＝=33,s＝×[（2７-３3)２+(38－33）2+(30-33)2＋(３7-３３）2＋(35-33)2＋(31－33)2］＝,s甲＝≈3.96,乙＝×(33+29＋38＋34＋２8＋3６）＝=33,ｓ＝×[（33－3３)2＋(２９-33)2＋(38-33)2+(3４-3３）2+(２8－3３)2+(３6－３3）2]=，ｓ乙=≈3.5６.由以上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为3３ m／s,甲的原则差为3.96　m／s,乙的原则差为３．56　m/ｓ，阐明甲、乙两人的最大速度的平均值相似，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀.［探究共研型]数据的数字特性的综合应用 探究1　在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中，最高收入达到了100万，她们年收入的平均数是３.5万”.如果你但愿获得年薪2．５万元,你与否可以判断自己可以成为此公司的一名高收入者?【提示】 这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数,则需进一步理解公司各类岗位收入的离散状况．探究2 极差与方差是如何刻画数据离散限度的?【提示】 方差与极差越大,数据的离散限度就越大,也越不稳定,数值越小,离散限度就越小,越稳定. 在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表：分数50６０708090100人数甲组25１０13１46乙组441６212１2已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的记录知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并阐明理由.【精彩点拨】 解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析．【自主解答】　(1）甲构成绩的众数为９0分，乙构成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲构成绩好些．（２)甲＝(5０×2+6０×5+70×10＋80×13＋９0×14＋100×6)＝×4 000=8０(分)，乙=（50×4＋6０×４+70×16+8０×2＋９0×12＋100×12)=×4 ０0０=8０（分).s=[2×（50-8０)２+５×(6０－8０）2＋1０×（70-8０)２+13×(８０－８0)2+14×(90－8０）２+６×(100-８０)2］＝１72，ｓ＝[４×(５0-８0)2+４×(6０－80)2+1６×（70－80)2＋2×(８0－８０)2＋12×(９0－８0）2+12×(10０-80)2]＝256.∵s