高考数学真题——函数压轴题含答案.doc

2018年数学全国1卷函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设存在两个极值点，证明：．解:〔1〕的定义域为，.〔i〕假设，则，当且仅当，时，所以在单调递减.〔ii〕假设，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.〔2〕由〔1〕知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由〔1〕知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.2017年数学全国1卷函数ae2*+(a﹣2) e*﹣*.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设有两个零点，求a的取值围.〔1〕的定义域为，，〔ⅰ〕假设，则，所以在单调递减.〔ⅱ〕假设，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.〔2〕〔ⅰ〕假设，由〔1〕知，至多有一个零点.〔ⅱ〕假设，由〔1〕知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值围为2016年数学全国1卷函数有两个零点.〔I〕求a的取值围；〔II〕设*1，*2是的两个零点，证明：.【答案】(I)；〔II〕见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定〔主要要根据导函数零点来分类〕；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．试题解析：〔Ⅰ〕．〔i〕设，则，只有一个零点．时，所以不存在两个零点．假设，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值围为．〔Ⅱ〕不妨设，由〔Ⅰ〕知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．2013年数学全国1卷设函数＝，＝，假设曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有一样的切线〔Ⅰ〕求，，，的值；〔Ⅱ〕当≥－2时，≤，求的取值围。

21．【解析】〔Ⅰ〕由得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，，设函数==〔〕，==，有题设可得≥0，即，令=0得，=，=－2，1〕假设，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(2)假设，则=，∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(3)假设，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，综上所述，的取值围为[1,].2012年数学全国1卷函数满足.（1） 求的解析式及单调区间；（2） 假设，求的最大值.【解析】〔1〕令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为〔2〕得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为2011年数学全国1卷(I)设函数，证明：当时，；(II)从编号1到100的100卡片中每次随即抽取一，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个互不一样的概率为.证明：【命题意图】此题为导数、概率与不等式的综合,主要考察导数的应用和利用导数证明不等式.考察考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考察考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【解析】(I) …………………………2分当时,,所以为增函数,又,因此当时,. …………………………5分(II) .又所以.由(I)知:当时,因此.在上式中,令,则 19,即.所以…………………………12分2009年数学全国1卷设函数在两个极值点，且〔I〕求满足的约束条件，并在下面的坐标平面，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析〔I〕这一问主要考察了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大局部考生有思路并能够得分由题意知方程有两个根则有故有右图中阴影局部即是满足这些条件的点的区域II)这一问考生不易得分，有一定的区分度主要原因是含字母较多，不易找到突破口此题主要利用消元的手段，消去目标中的，〔如果消会较繁琐〕再利用的围，并借助〔I〕中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性解：由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②　　　消去可得．又，且.ks5u.函数．〔1〕假设，证明：当时，；〔2〕假设在只有一个零点，求．【解析】〔1〕当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．〔2〕设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．〔i〕当时，，没有零点；〔ii〕当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．学&科网①假设，即，在没有零点；②假设，即，在只有一个零点；③假设，即，由于，所以在有一个零点，由〔1〕知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．函数且.〔1〕求a；〔2〕证明：存在唯一的极大值点，且.解：〔1〕的定义域为设，则等价于因为假设a=1，则.当0＜*＜1时，单调递减；当*＞1时，＞0，单调递增.所以*=1是的极小值点，故综上，a=1〔2〕由〔1〕知设当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增又，所以在有唯一零点*0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.因为，所以*=*0是f(*)的唯一极大值点由由得因为*=*0是f(*)在〔0,1〕的最大值点，由得所以(I)讨论函数的单调性，并证明当 >0时，(II)证明：当时，函数有最小值.设g〔*〕的最小值为，求函数的值域.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；〔Ⅱ〕用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：〔Ⅰ〕的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以〔II〕由〔I〕知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点：函数的单调性、极值与最值.(本小题总分值12分)函数f(*)＝e*－ln(*＋m)．(1)设*＝0是f(*)的极值点，求m，并讨论f(*)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(*)＞0.(1)f′(*)＝.由*＝0是f(*)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(*)＝e*－ln(*＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(*)＝.函数f′(*)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当*∈(－1,0)时，f′(*)＜0；当*∈(0，＋∞)时，f′(*)＞0.所以f(*)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，*∈(－m，＋∞)时，ln(*＋m)≤ln(*＋2)，故只需证明当m＝2时，f(*)＞0.当m＝2时，函数f′(*)＝在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(*)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根*0，且*0∈(－1,0)．当*∈(－2，*0)时，f′(*)＜0；当*∈(*0，＋∞)时，f′(*)＞0，从而当*＝*0时，f(*)取得最小值．由f′(*0)＝0得＝，ln(*0＋2)＝－*0，故f(*)≥f(*0)＝＋*0＝＞0.综上，当m≤2时，f(*)＞0.〔Ⅰ〕设函数，证明：当时，；〔Ⅱ〕从编号1到100的100卡片中每次随即抽取一，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个互不一样的概率为.证明：解：（I） . ……2分当时，，所以当，……5分（II） .又，所以……9分由〔I〕知：当，，所以.令则,所以综上：……12分设函数．〔Ⅰ〕证明：当时，；〔Ⅱ〕设当时，，求a的取值围．解：〔I〕当时，当且仅当令…………2分当，是增函数；当是减函数。

于是在*=0处到达最小值，因而当时，所以当…………6分、〔II〕由题设当不成立；当则当且令当…………8分〔i〕当时，由〔I〕知是减函数，…………10分〔ii〕当时，由〔I〕知当时，综上，a的取值围是…………12分函数 =*﹣1﹣aln*．〔1〕假设，求a的值；〔2〕设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．解：〔1〕的定义域为.①假设，因为，所以不满足题意；②假设，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故*=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1〔2〕由〔1〕知当时，令得，从而故而，所以m的最小值为3.函数．〔1〕假设，证明：当时，；当时，；〔2〕假设是的极大值点，求．解：〔1〕当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.学*科网又，故当时，；当时，.〔2〕〔i〕假设，由〔1〕知，当时，，这与是的极大值点矛盾.〔ii〕假设，设函数.由于当时，，故与符号一样.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.设函数〔Ⅰ〕求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕假设函数在区间单调递增，求的取值围.【解析】此题主要考察利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考察综合分析和解决问题的能力．〔Ⅰ〕,曲线在点处的切线方程为.〔Ⅱ〕由，得，假设，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，假设，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，假设，则当且仅当，即时，函数单调递增，假设，则当且仅当，即时，函数单调递增，综上可知，函数单调递增时，的取值围是.函数()=In(1+)-+(≥0)。

Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间解：〔I〕当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即〔II〕，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是函数〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设对于任意的，都有≤，求的取值围函数，.〔1〕假设曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；〔2〕当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.解：〔1〕由为公共切点可得：，则，，，则，，①又，，，即，代入①式可得：．〔2〕，设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单。