高等数学：8-3 函数的幂级数展开及应用(1-46).ppt

§8.3 函数的幂级数展开及应用函数的幂级数展开及应用设设收敛区间收敛区间 ( -r , r ) , r   0 ,则则 S(x) 在在 ( -r , r ) 上可导上可导 , 且且由于幂级数由于幂级数 的收敛半径也为的收敛半径也为 r , 于是于是 在在 ( -r , r ) 上可导上可导 , 且且 S(x) 在在 ( -r , r ) 上二阶可导上二阶可导 又又 的收敛半径也为的收敛半径也为 r ,在在 ( -r , r ) 上可导上可导 , 且且 S(x) 在在 ( -r , r ) 上三阶可导上三阶可导 重复这一过程可知重复这一过程可知 : S(x) 在在 ( -r , r ) 上无穷阶可导上无穷阶可导 ,即幂级数即幂级数 表示的和函数在其收敛区间上表示的和函数在其收敛区间上任意阶可导任意阶可导 问题问题:若一函数若一函数 f (x) 在在 ( x0-   , x0+  ) 上任意阶上任意阶 可导可导 , f (x) 是否可以表示为是否可以表示为即一任意阶可导的函数是否可以表示为一幂级数即一任意阶可导的函数是否可以表示为一幂级数 ?这就是函数的幂级数展开问题这就是函数的幂级数展开问题 我们首先考虑我们首先考虑 , 如果如果那么那么 cn = ?令令 x  x0 ,两边求导得两边求导得让让 x  x0 , 有有再两边求导有再两边求导有让让 x  x0 , 有有重复这一过程可得重复这一过程可得即如果即如果则则泰勒级数泰勒级数: 级数级数 称为函数称为函数f (x) 在在 x = x0 点的点的泰勒级数泰勒级数 由此得知由此得知:(1) 如果如果 f (x) 可表示为一个以可表示为一个以 x0 为基点的幂级数为基点的幂级数 ,则此幂级数就是则此幂级数就是 f (x) 在在 x0 点的泰勒级数点的泰勒级数 ( 幂级数幂级数表示的唯一性表示的唯一性 ) (2) 幂级数幂级数 就是其和函数就是其和函数 S(x) 在在 x0 点的泰勒级数点的泰勒级数 (3) 一个在一个在 N( x0 ) 上任意阶可导的函数上任意阶可导的函数 f (x) , 总可总可构造它在构造它在 x0 点处的泰勒级数点处的泰勒级数下面讨论下面讨论:?由泰勒公式由泰勒公式若记若记 的部分和数列为的部分和数列为 { Sn(x) } ,则有则有故知故知:定理定理在点在点 x 处处我们把等式我们把等式(1)称为函数称为函数 f (x) 在在 x0 点处的点处的泰勒级数展开式泰勒级数展开式 若若 x0 = 0 , 则上式为则上式为(2)(2) 称为函数称为函数 f (x) 的的麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展开式 常用的泰勒级数展开式常用的泰勒级数展开式 ( 取取 x0 = 0 )(1) f (x) = e x 的展开式的展开式由于由于在在 x0 = 0 处的泰勒级数为处的泰勒级数为其收敛半径其收敛半径: 级数的收敛域为级数的收敛域为 ( -   , +  )又由泰勒公式又由泰勒公式其中其中   介于介于 0 与与 x 之间之间 , 于是有于是有据夹逼定理知据夹逼定理知 , 对任意对任意 x   R 所以有所以有(3)(2) f (x) = sinx 的展开式的展开式在在 x0 = 0 处的泰勒级数为处的泰勒级数为由于由于 级数级数 的收敛域为的收敛域为 ( -   , +  )又由于又由于所以有所以有(4)(3) f (x) = cos x 的展开的展开式式对上式两边对对上式两边对 x 求导有求导有(4) f (x) = ln ( 1+ x ) 的展开的展开式式(6)即即(5)(5) f (x) = ( 1+ x )  ,  R 的展开式的展开式 f (x) 在在 x0 = 0 处的泰勒级数处的泰勒级数由于由于 收敛区间为收敛区间为 ( -1 , 1 )下面考虑下面考虑?对于任意的对于任意的 x  (-1 , 1) 记记由于由于代入前式有代入前式有即满足即满足:即即解得解得由于由于 S(0) = 1 ,  c = 0 (7)说明说明:(1) 的展开式的展开式的推导过程就是一个幂级数求和的过程的推导过程就是一个幂级数求和的过程 (化为化为微分方程计算微分方程计算 ) (2) 展开式展开式 (3)—(7) 的推导过程称为幂级数展开的的推导过程称为幂级数展开的直接展开法直接展开法 :(a) 计算计算 (b) 验证等式成立验证等式成立 可以看到可以看到 , 由于由于 不易计算不易计算 , 等式的验证等式的验证 通常也较困难通常也较困难 , 所以利用直接法求函数的幂级数所以利用直接法求函数的幂级数展开式常常是困难的展开式常常是困难的 (3) 间接展开法间接展开法:利用函数的幂级数展开式的利用函数的幂级数展开式的唯一性唯一性 , 借助借助一些一些已知已知的幂级数展开式的幂级数展开式 , 求求函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式的方法称为幂级数展开的的方法称为幂级数展开的间接展开法间接展开法 这一方法的优点这一方法的优点:(a) 回避回避 的计算的计算 (b) 回避等式的验证回避等式的验证 例例求求 在在 x = 0 处的泰勒级数展开式处的泰勒级数展开式 解解因为对于任意的因为对于任意的 x ( -  , +  )令令 x = x2 , 代入上式有代入上式有所以所以 , 在在 x = 0 处的泰勒展开式为处的泰勒展开式为说明说明:利用利用可知可知所以有所以有解解例例求求 在在 处的泰勒级数展开式处的泰勒级数展开式 因为因为由于由于代入上式有代入上式有解解例例设设 , 将将 f (x)展开为展开为 x 的幂级数的幂级数由于由于将这些展开式代入上式有将这些展开式代入上式有解解例例求求 在在 x = 0 处的泰勒级数展开式处的泰勒级数展开式.因为因为 , 而当而当 时时 , 在上式中令在上式中令 x = x2 , 有有由于右边级数在由于右边级数在 处收敛及处收敛及 arctanx 在在处连续处连续 , 故有故有解解例例设设 将将 f (x) 展开为展开为 形式的级数形式的级数 , 其中其中令令 则则代入代入将将 代入上式得代入上式得幂级数的应用幂级数的应用(1) 数项级数的求和数项级数的求和例例计算数项级数计算数项级数 的和的和 解解首先构造一辅助幂级数使符合下面两条件首先构造一辅助幂级数使符合下面两条件:(1) 使使 为幂级数当为幂级数当 x 取特定值时的结果取特定值时的结果 (2) 辅助幂级数容易求和辅助幂级数容易求和 本题取辅助幂级数本题取辅助幂级数此时其此时其收敛域为收敛域为 ( -1 , 1 ) 且且求辅助幂级数的和函数求辅助幂级数的和函数记记所以所以例例计算数项级数计算数项级数 的和的和 解解构造辅助幂级数构造辅助幂级数则由则由 此幂级数的收敛域为此幂级数的收敛域为 ( -  , +  ) . 并且并且所以求得所以求得(2) 求高阶导数求高阶导数若若 , 则有则有例例设设 求求解解(3) 近似计算近似计算(a) 函数值的计算函数值的计算例例计算计算 的近似值的近似值 , 使之绝对误差不超过使之绝对误差不超过 解解因为因为由由令令 得得(交错级数交错级数)由于由于所以所以解解例例计算计算 绝对误差不超过绝对误差不超过 设设 f (x) = arcsin x , 则则两边积分得两边积分得令令 x = 0.2 得得当当 n = 1 时时 , 所以有所以有(b) 积分值的近似计算积分值的近似计算解解例例计算计算 的近似值使之绝对误差不超过的近似值使之绝对误差不超过 .因为因为这是一交错级数这是一交错级数 , 由于由于于是有于是有所以积分的符合精度要求的近似值为所以积分的符合精度要求的近似值为。