转化法在解直角三角形中的应用.doc

转化法在解直角三角形中的应用在中考数学中，解直角三角形是一个非常重要的考点下面就向同学们介绍转化法在解直角三角形中的应用，供同学们学习时参考1、等线段转化法例1、如图1所示，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切⊙O于点C，连结BC求的正弦值解析：连结OC，因为，PC切⊙O于点C，所以，PC⊥OC, 所以，在直角三角形POC中，sinp=,因为，AB是圆的直径，所以，AB=2OA,因为，AB=2PA，所以，PA=OA=OC，所以，PO= PA+OA=2OC,所以，sinp===.评注：在求角的三角函数值时，利用线段的等量代换，把不需要的量用相等的量替换，从而达到约分的目的，也就求得问题的答案了2、等比转化法例2、如图2所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD和弦BC相交于点P，如果AB=5,CD=3，求cos∠BPD的值解析：如图3所示，连接BD，因为，AB是圆的直径，所以，∠ADB=90°，在直角三角形BPD中，cos∠BPD=,因为，∠C=∠A，∠D=∠PBA,所以，△CPD∽△APB,所以，=,因为，AB=5,CD=3，所以，cos∠BPD===评注：利用直径上的圆周角是直角，构造直角三角形，后借助三角形的相似，把线段的比转化成已知线段的比。

3、等角转化法例3、如图4所示，已知是⊙O的直径，弦，，，那么的值是 ．解析：因为，∠ABD和∠ACD是同弧上的圆周角，所以，∠ABD=∠ACD；因为，是⊙O的直径，所以，∠ACB=90°，因为，弦，所以，∠AEC==90°，所以，∠ACD=∠ABC,所以，∠ABD=∠ABC，在直角三角形ABC中，因为，AB=3,所以，sin∠ABC==，所以，sin∠ABD=评注：求一个角的三角函数值时，求与这个角相等角的三角函数值，是解决这类问题的一条基本思路4、高线转化法例4、如图5-（1）所示，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 =bc·sin∠A． ①即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半． 如图5-（2）所示，在⊿ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α， ∠DCB=β．∵ ， 由公式①，得AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ． ②你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．解析：能。

因为，CD⊥AB于D，所以，三角形ADC和三角形BDC都是直角三角形，在直角三角形ADC中，cosα=，所以，AC=；在直角三角形BDC中，cosβ=，所以，BC=；AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ．所以，××sin(α+β)= ×CD×sinα+× CD×sinβ．整理，得：sin(α+β)= cosβsinα+ cosαsinβ评注：当三角形是一般的三角形时，常通过作三角形的一条高，把一般的三角形转化成直角三角形，这也是求三角函数值的一种基本思路5、转化成直角三角形法例5、如图6所示，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m解析：设斜面上相邻两树在斜面上的触点分别为A和C，过A作与水平线平行的直线，过C作与水平线垂直的直线，设两条直线相交于点B，根据题意，知道：AB=4，=，所以，BC=2,所以，AC==≈4.5米，所以，两棵树的坡面距离约为4.5米，因此，选择A评注：在解答时，有时需要自己作辅助线构造直角三角形，这也是解直角三角形的基本思路之一。