3-8切比雪夫不等式与大数定律.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,§,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,重点：,,1） chebyshev 不等式,,2） 大数定律,,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果,,的稳定性的一系,列定理统称为大数定律.,,或,,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|,X,-,E,(,X,)|< },的概率越大，即随机变量,X,集中在期望附近的可能性越大,.,，有不等式,则对于任意正数,方差,具有数学期望,设随机变量,定理1,e,s,m,,,),(,,,),(,2,=,=,X,D,X,E,X,Chebyshev inequality,,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明,.,,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了,r.v,,X,与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，,,则,r.v X,取值偏离,E,(,X,),超过 3 的概率小于0.111 .,,,大量随机试验中,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币,,正面出现频率,字母使用频,,率,生产过程中的,,废品率,……,,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,[定理2],（切比雪夫定理）,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,设独立随机变量序列,的数学期望,与方差,并且方差,一致有上界，,即存在某一常数,使得,则对于任意的正数,有,,证：,对随机变量,应用切比雪夫不等式得,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,,由此得,令,得到,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,但概率不可能大于,故有,,说明,,切比雪夫定理说明（,概率直观）,若独立随机变量序列,的数学期望,与方差存在，,且方差一致有上界，,收敛于,其数学期望,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,则,随机变量,紧密地聚集在它的数学期望,附近,.,的值将比较,即当 充分大时,,,,依概率收敛定义及性质,,定义,,请注意 :,,,问题 :,伯努利,,设n,A,是,n,重贝努里试验中事件,A,发生的次数，,p,是事件,A,发生的概率，,是事件,A,发生的频率.,,,设,n,A,是,n,次独立重复试验中事件,A,发,,生的次数，,p,是事件,A,在每次试验中发生,,的概率，则对于任意正数,ε,> 0 ，有,定理3（贝努里大数定律）,,伯努利,证明,,,证毕,注,,,贝努里大数定律表明，当重复试验次数,n,充分大时，事件,A,发生的频率,n,A,/,n,与事件,A,的概率,p,有较大偏差的概率很小.,或,,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,,设随机变量序列,X,1,,,X,2,, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期,E,(,X,i,)=,μ,,i=1,2,…， 则对于任意正数,ε,,，有,定理4（辛钦大数定律）,辛钦,,,1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,注,2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.,3、辛钦定理具有广泛的适用性,.,,要估计某地区的平均亩产量 ，,,要收割某些有代表性块，例如,n,块,,地. 计算其平均亩产量，则当,n,较,,大时，可用它作为整个地区平均亩,,产量的一个估计.,,三、小结,大,,数,,定,,律,,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,,随机变量,的数学期望,方差,则由切比雪夫不等式，有,解：,思考题,§3.8 切比雪夫不等式与大数定律,1,,,。