《信号与系统》郑君里第二章习题解答.pdf

1 2 6 解题过程 1 e tu t 01r 02r 方法一 经典时域法 求 Zi r 由已知条件 有 320 002 001 ZiZiZi ZiZi ZiZi rtrtrt rr rr 特征方程 2 320 特征根为 1 1 2 2 故 2 12 tt Zi rtAeA eu t 代入 0 Zi r 0 Zi r 得 1 4A 2 3A 故 2 43 tt Zi rteeu t 求 Zs r 将 e tu t 代入原方程 有 323 ZsZsZs rtrtrttu t 用冲激函数匹配法 设 Zs Zs Zs rtatb u t rta u t rtat u t 代入微分方程 平衡 t 两边的系数得1a 故 0011 ZsZs rr 000 ZsZs rr 再用经典法求 Zs rt 齐次解 2 12 tt Zsh rtBeB eu t 因为 e tu t 故设特解为 Zsp rtC u t 代入原方程得 3 2 C 故 2 12 3 2 tt ZsZshZsp rtrtrtBeB eu t 代入 0 Zs r 0 Zs r 得 1 2B 2 1 2 B 故 2 13 2 22 tt Zs rteeu t 全响应 2 53 2 22 tt ZiZs r trtrteeu t 自由响应 2 5 2 2 tt eeu t 2 受迫响应 3 2 u t 方法二 p算子法 2 2 323 ddd r tr tr te te t dtdtdt 化为算子形式为 2 323ppr tpe t 特征方程 2 320 特征根为 1 1 2 2 Zi rt的求法与经典时域法一致 2 43 tt Zi rteeu t 再求 Zs rt e tu t 2 3 3 12 tt p r tu tpe u teu tu t pp 其中 222 0 11 22 t tttt e u teu tu teedeeu t 22 1113 32 2222 tttt Zs rtpeeu teeu t 全响应 2 53 2 22 tt ZiZs r trtrteeu t 自由响应 2 5 2 2 tt eeu t 受迫响应 3 2 u t 综观以上两种方法可发现p算子法更简洁 准确性也更高 2 3t e teu t 01r 02r 运用和上题同样的方法 可得 全响应 2 54 tt r teeu t 零输入响应 2 43 tt Zi rteeu t 零状态响应 2tt Zs rteeu t 自由响应 2 54 tt eeu t 受迫响应 0 2 10 分析 3 5 d r tr tef tde te tf te te tf tt dx 已知冲激函数 t 与单位冲激响应 h t为 输入 输出 对 故 e tt 时 r th t 类似上题 也可以用经典法和算子法两种思路求解该微分方程 解题过程 方法一 经典法 代入 e tt 3 t f te u tt 得到 52 t d h th te u tt dt 对于因果系统 00h 先求满足 11 5 d h th tt dt 的 1 h t 5 1 t h tAeu t 利用冲激函数匹配法 在 0 0 时间段内 1 1 d h tatb u t dx h ta u t 00t 1 5 1 5 1 5 001 t atb u ta u tt ab hahA h teu t 对于 式 555 1 17 22 44 tttttt h th te u tteu te u teu teeu t 方法二 p算子法 常用关系式 dx t px t dt 1 t eu tt p 111 t x ttx ttx teu tx t ppp 引入微分算子p 式变成 1 52 1 ph ttt p 4 11 1122 44 515515 h ttttt pppppp 5 71 44 tt h teeu t 注 由本例再次看到 相比经典法 p算子法形式简洁 易算易记 2 14 分析 求解两个信号的卷积 可以直接用定义 依照 反转 平移 相乘 求和 的顺序来求 积分式为 1212 x txtxxtd 但是这种依靠定义的基本方 法可能不是最简便的 更应该注意灵活运用卷积的性质 卷积的交换律 结合律 分配律 卷积的微分与积分 与冲激函数或阶跃函数的卷积 对表达式进一步的化简 甚至直接得到 结果 解题过程 1 11f tu tu tu ttt 11 212 212 21122 s tf tf tu tttu ttt u tu tttt tu tttt tu ttu ttu t 2 1212f tu tu tu ttt 1212 2234 2234 2223344 s tf tf tu tttu ttt u tu tttt tu tttt tu ttu ttu t 注 可见 2 中的 s t是 1 中 s t右移两位 不难推出如下结论 112 s tx txt 2112211212 0 0stx ttxtts ttttt 2 15 分析 利用卷积的性质 0000 f tttttf ttf tt 可画出 如下波形 1 112112 5555s tftftftttftft 2 21221 5555stftftftfttttt 5 1 10210ftttt 111 10210ftftft 3 3122 55stftftu tu tft 由 1 得 121 ftfts t 55u tu t 相当于一个 时间窗 保留 5 5 内的信号 其它范围内的信号为 0 4 413 stftft 发生时域信号的叠加 2 18 分析 本题可以用经典法 算子法或者直接用 LTI 系统的性质求解 解题过程 方法一 经典法 1 s t 1 12 34 5 6 6 5 4 3 2 1 2 st 2 1 1 1911 9 11 3 st 1 1 910 9 1 10 4 st 3 21 2 1 2 3 2 2 1 6 r tH e te th t ddd He tH e tr t dtdtdt 得到微分方程 2 3 t d r tr teu t dt 此方程齐次解 3t n r tAeu t 特解 2t p rtBeu t 将 p rt代入上式得到1B 即 2t p rteu t 由于 r t是零状态响应 且方程右端无冲激项 故 00r 将此初始条件代入 32tt hp r tr trtAeeu t 得1A 32tt r teeu t 又 r te th t 332 2 1 ttt e th teu th teeu t 又 ddd e th te th tr t dtdtdt 332 6232 2 ttt eu tth teeu t 1 3 2 得 2 1 2 t th teu t 即 2 1 2 t h teu t 方法二 p算子法 r tH e t 2 3 t d He tHpe tpH e tpr tr teu t dt 2 3 t pr teu t 2232 11 2 3 32 tttt r teu teu teu teu t p 又 3 2 4 t r te th teu th t 由 3 4 对比可知 2 1 2 t h teu t 方法三 直接利用 LTI 系统的性质 7 3 2 t H e tr tHeu tr t 32 2635 tt d He tHteu tr te u t dx 4 3 5 2 1 2 t h tHteu t 2 20 解题过程 由系统框图知 1213 r te th te thth th t 1213 e th thth th t e th t 1213 h th thth th t 其中 1 h tu t 213 11hth th ttu ttu t 1h tu tu t 。