最新多元积分学应用弧长面积体积行PPT课件.ppt

多元积分学应用,弧长、面积、体积行(1) 所求量所求量 Q 分布在区域分布在区域 上，且对上，且对 具有可加性：具有可加性：iQQiQ=Qi(2)当当   i 很小时，近似地有很小时，近似地有 Qi   f (Xi)i dQ=f (X)d A=4A1=2(2)a2例例4. 4. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.解：解：: z=x2+y2Dxy: 1≤x2+y2≤2z=x2201xyzDxy 一般地，由曲线 z= (x)(00)内部的那部分面积.解解：A=4A10≤x≤azyxLzyxL例例6.6. 求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面及平面 y=1所围立体体积.解解：V=2V1yxz01x10zyx10zy 例例7.7. 求圆柱体x2+y2≤ax(a>0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积.解解：V=4V1yzxzyxDzyxD例例8.8. 计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2x2所围立体体积.解：解： z=x2+2y2 z=2x2 x2+y2=1D: x2+y2≤1Dxyz 几何形体  的质量分布密度为 (X), X则 d M= (X)d 故(1) 平面薄板 D, 质量面密度(x, y)(2) 立体 ：质量体密度  (x, y, z)(3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度 (x, y) ( (x, y, z))(4) 曲面型物体  ：质量面密度 (x, y, z)例例9.9. 设球面x2+y2+z2=2及锥面围成立体，其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比，且在球面上等于1. 试求该立体的质量.解：解：体密度为 (x, y, z)=k (x2+y2+z2)(x, y, z)由得zyxa所以例例10.10. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之间，其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数，求其质量.解解1 1.(x, y, z)则 = 1+ 221xyRRzH且令1：2：(y≥0)(y≤0)而 Dxz={(x, z)|R≤x≤R, 0≤ z ≤H}在1上，故21xyRRzH从而在2上，有所以解解2 2：：取柱面坐标 x=rcos, y=rsin , 则柱面方程为r=R, 柱面上面积元素dS=Rddz,则21xyRRzH(1) 平面薄板D 由静力学, xy平面上n个质点(x1, y1), …, (xn, yn), 其质量分别为m1, …, mn，则该质点系的重心坐标为其中分别称为该质点系对 y 轴和 x 轴的静力矩，为该质点系的总质量.设平面薄板D，质量面密度 (x, y)则xy又若 为常数，则其中称之为形心.(2)立体  : 质量体密度  (x, y, z)其中例例11.11. 求r=2sin和r=4sin所围均匀薄片 D 的形心.解解：因D关于 y 轴对称，故 形心为xy0例例12.12. 在底圆半径为 R , 高为 H 的圆柱体上拼加一个半径为 R 的半球体，要使拼加后的整个立体  的形心位球心处，求 R 与 H 的关系.解：解：由题意选择坐标系如图，则xyRz0H圆柱体：x2+y2 ≤R2, H≤z≤0半球体：x2+y2+z2≤R2, z≥0因  关于 x,y 轴对称, 故有而其中 V 为  的体积令得故有 结束语结束语谢谢大家聆听！！！谢谢大家聆听！！！37。