四川省自主招生考试数学试卷.doc

2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷　一、选择题：1．（3分）的值在（　　）　A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间　2．（3分）的平方根与的差等于（　　）　A．6B．6或﹣12C．﹣6或12D．0或﹣6　3．（3分）若x2=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（　　）　A．5或﹣5B．1或﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1　4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（　　）　A．9B．13C．9或13D．10或12　5．（3分）已知函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax2+3x﹣b=0的根的情况是（　　）　A．有两个正根B．有一个正根一个负根　C．有两个负根D．没有实根　6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（　　）　A．82°B．86°C．88°D．90°　7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周长为（　　）　A．48B．8+C．8+5πD．96﹣25π　8．（3分）如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（　　）　A．B．　C．D．　9．（3分）（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（　　）　A．B．C．D．　10．（3分）如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（　　）　A．17B．18C．19D．20　11．（3分）在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（　　）　A．2B．3C．4D．5　12．（3分）现有2011个人排队，第一个人站在点P1（1，1），第二个人站在点P2（2，1）…，第k个人站在点Pk（xk，yk），当k≥2，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（　　）　A．（5，2011）B．（2011，1）C．（2，402）D．（1，403）　二、填空题13．（3分）已知方程组，张三看错了a，得到的解是；而李四看错了b，得到的解是，那么原方程组的正确的解是　_________　．　14．（3分）关于x的不等式（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是　_________　．　15．（3分）如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB=　_________　．　16．（3分）有一列数a1、a2、a3、…、an，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2014=　_________　．　17．（3分）（2005•内江）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由　_________　个这样的正方体组成．　18．（3分）对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=　_________　．　三、解答题19．先化简，再求值：3xy﹣．其中x=4sin45°﹣2cos60°，y=．　20．如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE．　21．如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交AD于F．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．　22．某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：苹果品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）654每吨苹果获利（百元）121610（1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．　23．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．（1）求阴影部分的面积；（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．　24．已知函数y1=x，y2=x2+mx+n，x1、x2是方程y1=y2的两个实根，点P（s，t）在函数y2的图象上．（1）若x1=2，x2=4，求m，n的值；（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；（3）当0＜x1＜x2＜1，0＜s＜1时，试确定t，x1，x2三者之间的大小关系．　25．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）若四边形EARD的面积为4，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．　2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：1．（3分）的值在（　　）　A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间考点：估算无理数的大小；不等式的性质．1521731专题：推理填空题．分析：项求出的范围5＜＜6，根据不等式的性质即可求出﹣3的范围，根据﹣3的范围即可求出答案．解答：解：∵＜＜，∴5＜＜6，∴5﹣3＜﹣3＜6﹣3，∴2＜﹣3＜3，∴﹣3在2和3之间，故选B．点评：本题考查了无理数的大小比较的应用，关键是确定的范围，注意：5＜＜6，题型较好，难度适中．　2．（3分）的平方根与的差等于（　　）　A．6B．6或﹣12C．﹣6或12D．0或﹣6考点：实数的运算．1521731分析：首先利用二次根式的性质化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．解答：解：∵=9，∴的平方根为±3，而=3，∴的平方根与的差等于0或﹣6．故选D．点评：此题主要考查了实数的运算，同时也利用了二次根式的性质及平方根的定义，是比较容易出错的计算题．　3．（3分）若x2=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（　　）　A．5或﹣5B．1或﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1考点：有理数的混合运算．1521731专题：计算题．分析：由x2=4，开方得到x的值，再由|y|=3，利用绝对值的代数意义求出y的值，又xy＜0，得到x与y异号，确定出x与y的值，代入所求的式子中计算，即可得到结果．解答：解：∵x2=4，∴x=2或x=﹣2，∵|y|=3，∴y=3或y=﹣3，又xy＜0，∴x与y异号，∴x=2，y=﹣3或x=﹣2，y=3，则x﹣y=2﹣（﹣3）=2+3=5或x﹣y=﹣2﹣3=﹣5．故选A．点评：此题考查了有理数的混合运算，涉及的知识有：一元二次方程的解法，绝对值的代数意义，以及两数相乘的取符号法则，其中根据xy＜0，得到x与y异号是解本题的关键．　4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（　　）　A．9B．13C．9或13D．10或12考点：等腰三角形的性质．1521731专题：探究型．分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得或，解得或，经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故选C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意画出图形，列出关于x、y的方程组是解答此题的关键．　5．（3分）已知函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax2+3x﹣b=0的根的情况是（　　）　A．有两个正根B．有一个正根一个负根　C．有两个负根D．没有实根考点：根的判别式；反比例函数的性质．1521731专题：计算题．分析：由函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，根据反比例函数的性质得到ab＞0，则a≠0，可判断方程ax2+3x﹣b=0是一元二次方程，然后计算△，得到△=32﹣4•a•（﹣b）=9+4ab＞0，根据△的意义得方程ax2+3x﹣b=0有两个不相等的实数根；再设它两实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关系有x1•x2=﹣＜0，即可得到两根异号．解答：解：∵函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，∴ab＞0，对于方程ax2+3x﹣b=0，∵a≠0，∴方程ax2+3x﹣b=0是一元二次方程，∴△=32﹣4•a•（﹣b）=9+4ab＞0，∴方程ax2+3x﹣b=0有两个不相等的实数根，设它两实数根分别为x1，x2，∴x1•x2=﹣＜0，∴方程ax2+3x﹣b=0有两个异号的实数根．故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系．　6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（　　）　A．82°B．86°C．88°D．90°考点：平行线的性质．1521731分析：。