信号与系统第七章.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑信号与系统 第七章 7.1 系统函数与系统特性 一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 B( ) H ( ) A( ) A(.)=0的根p1,p2,…,pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根 1, 2,…, m称为系统函数H(.)的零点 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图 j例 H ( s) 2( s 2) ( s 1) 2 ( s 2 1)(2) -1 -2 0 -j σ 例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2求 H(s)的表达式 jω 解：由分布图可得H ( s) Ks Ks ( s 1) 2 4 s 2 2s 5-1 j2 0 -j2 σ 根据初值定理，有Ks 2 h(0 ) lim sH ( s) lim 2 K s s s 2 s 5H ( s) 2s s 2 2s 5 二、系统函数H( )与时域响应h( )冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。

下面议论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式 所议论系统均为因果系统1.连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平 面、虚轴和右半开平面三类 (1)在左半平面 (a) 若系统函数有负实单极点p= –α(α0),那么A(s)中有因 子(s+α),其所对应的响应函数为Ke-αtε(t) (b) 若有一对共轭复极点p12=-αjβ,那么A(s)中有因 子[(s+α)2+β2]--- K e-αtcos(βt+θ)ε(t) (c) 若有r重极点， 那么A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r,其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种处境：当t→∞时，响应均趋于0暂态分量2)在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=jβ, 那么响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r,其响应函数为 Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数 (3)在右半开平面 ：均为递增函数。

综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的 即当t→∞时，响应均趋于0 ②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所 对应的响应函数都是递增的 即当t→∞时，响应均趋于∞ 2.离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类 根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的 即当k→∞时，响应均趋于0 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应 ③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的即当k→∞时，响应均 趋于∞ 三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义，H( )收敛域不能含H( )的极点 例：某离散系统的系统函 数z z H ( z) z 0.5 z 3 (1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k); (2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k); (3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解 (1) |z|3,h(k) =[(-0.5)k + (3)k] (k) (2) |z|0.5,h(k) =[-(-0.5)k - (3)k] (-k-1) (3) 0.5|z|3,h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k (-k-1) 7.2 一、因果系统 系统的稳定性 因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会展现 于f(.)之前的系统。

连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|ρ0 二、系统的稳定性1、稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有 界的，那么称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的 系统，简称为稳定系统 即，若系统对全体的鼓舞 |f(.)|≤Mf ,其零状态响应 |yf(.)|≤My,那么称该系统稳定1)连续系统稳定的充分必要条件是 | h(t ) | dt M 若H(s)的收敛域包含虚轴，那么该系统必是稳定系统 (2)离散系统稳定的充分必要条件是k | h(k ) | M 若H(z)的收敛域包含单位圆，那么该系统必是稳定的系统 例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k),并判断是否稳定 (2) 若为稳定系统，求h(k).解z 1 z z 0.4 z 0.4 z H ( z) 1 1.5z 1 z 2 z 2 1.5z 1 ( z 0.5)(z 2) z 0.5 z 2 (1)为因果系统，故收敛域为|z|2,所以 h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k),不稳定。

(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2,所以 h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1) 因果系统稳定性的充分必要条件可简化为(3)连续因果系统 | h(t ) | dt M0 由于因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数 故，若H(s)的极点均在左半开平面，那么该系统必是稳定 的因果系统 (4)离散因果系统 | h(k ) | Mk 0 由于因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数 故，若H(z)的极点均在单位圆内，那么该系统必是稳定 的因果系统 例1:如图反应因果系统，问当K得志什么条件时，系 统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)] 解：设加法器的输出信号X(s) X(s)=KY(s)+F(s) F(s) ∑ X(s)K G(s) Y(s) Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)2 H(s)的极点为 3 3 p1, 2 2 k 2 2 为使极点在左半平面，务必(3/2)2-2+k(3/2)2, k2, 即当k2,系统稳定。

例2:如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定， 求常量a的取值范围 2 解：设加法器输出信号X(z) z-1X(z) X(z)=F(z)+z-1aX(z)F(z ) ∑ X (z) z 1 a ∑ Y(z ) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a) 为使系统稳定，H(z)的极点务必在单位圆内， 故|a|1 三、连续因果系统稳定性判断准那么——罗斯-霍尔维兹准那么 对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根(称 为系统特征根)是否都在左半平面上，即可判定系统是否 稳定，不必知道极点确实切值 全体的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式 1、必要条件—简朴方法 一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的全体根位于左半开 平面的必要条件是：(1)全体系数都务必非0,即不缺 项；(2)系数的符号一致 例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定 例2 A(s)=3s3+s2+2 , a1=0,不稳定 例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。

2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列 第1行 an an-2 an-4 … 第2行 an-1 an-3 an-5 … 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 … 它由第1,2行，按以下规矩计算得到：c n 1 1 a n 1 an a n 1 a n 2 a n 3 c n 3 1 an an 4 a n 5 a n 1 a n 1 … 第4行由2,3行同样方法得到一向排到第n+1行罗斯准那么指出：若第一列元素具有一致的符号，那么 A(s)=0全体的根均在左半开平面若第一列元素展现符 号变更，那么符号变更的总次数就是右半平面根的个数 特例：对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0,若a20,不难得 出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a10,a00 例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列： 2 12 12 1 1 8 4 12 8 2 0 2 0 8.5 留神：在排罗斯阵列 时，可能遇到一些特 殊处境，如第一列的 某个元素为0或某一行 元素全为0,这时可断 言：该多项式不是霍 尔维兹多项式。

2 第1列元素符号变更2次，因此，有2个根位于右半平面 例2 已知某因果系统函数1 H (s) 3 s 3s 2 3s 1 k 为使系统稳定，k应得志什么条件？ 解 列罗斯阵列 1 3 3 1+k (8-k)/3 1+k所以， –1k8,系统稳定 四、离散因果系统稳定性判断准那么——朱里准那么 7.2 系统的稳定性 为判断离散因果系统的稳定性，要判断 A(z)=0的全体 根的十足值是否都小于1朱里提出一种列表的检验方 法，称为朱里准那么 朱里列表： 第 1行 an an-1 an-2 …… a2 a1 a0 第 2行 a0 a1 a 2 …… an-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c1 c0 第4行 c0 c1 c2 …… cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d0 第 6行 d0 d1 d2 …… dn-2 …… 第2n-3行 r2 r1 r0 第3行按以下规矩计算：an c n 1 a0 a0 an 7.2 c n 2 系统的稳定性 a a a an 1 a0 a n 1 c n 3 n 2 a0 a n 2 … 一向到第2n-3行，该行有3个元素。

朱里准那么指出，A(z)=0的全体根都在单位圆内的充分 必要的条件是: (1) A(1)0 (2) (-1)nA (-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| …… r2|r0| 奇数行，其第1个元素必大于结果一个元素的十足值特例：对二阶系统A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解 7.2 系统的稳定性 。