自动控制理论第三章 1 稳定性分析.ppt

数学模型微分方程传递函数频率特性结构图信号流图状态空间表达式反映元件及系统的特性要正确 实验法 解析法写出的数学式子要简明引 言自动控制系统好？差?系统分析典型的输入信号时域性能指标动态性能指标稳态性能指标稳定性时域分析复域分析频域分析单位脉冲阶跃斜坡正余弦第三章 控制系统的时域分析目的 掌握控制系统的时域分析方法内容系统稳定性分析稳态误差的计算瞬态分析时域性能指标一阶、二阶系统分析3.5 控制系统的稳定性分析(P70)1.系统稳定的概念2.系统稳定的充要条件3.应用劳斯（Routh)判据判别系统 稳定性关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚普诺夫（. . ）于1892年确立的 系统稳定性的完整概念 “运动稳定性的一般问题”（The General Problem of the Stability of Motion) 1. 系统稳定的概念 稳定的基本概念稳定是使系统能够正常工作的必要条件，所谓“稳定”是指在任何扰动作用下，系统平衡遭到了破坏，如果在经过了相当长时间后，系统能达到一种新的平衡，或者回到原来的平衡状态，那么这个系统是稳定的 稳定stable 不稳定unstableMbcodf强调1：对于线性（线性化）系统而言，稳定与否仅取决于系统自身结构，而与外界扰动无关。

强调2：达到新的平衡状态或恢复到原始状态，其间有一个“允许”误差范围的原则2. 系统稳定的充要条件线性(化)系统时域数学模型为：由经典解法知，其解为： 在单位脉冲扰动的作用下，系统的输出为假设系统的n个特征根互异则系统的输出表示成单极点形式：其中ai为对应极点的留数，则时间响应为：为使系统稳定，则必须有 从而 因为 所以重根情况 如果pi为二重根、三重根时，分量式为时间分量为：则一样必须极点的实部为小于零共轭复数根情况设共轭两根对应的分量式为：则时间分量为：根据收敛条件根的实部必须要小于零w系统稳定的充要条件： 系统所有闭环特征根即闭环极点必须为负值，或者实部为负的共轭复数也可以说，系统所有的特征根必须位于S 平面的左半平面系统稳定性的讨论w 系统稳定性是系统的固有特性，与输入 信号无关w 若系统闭环特征方程的根有重根，充要 条件还成立吗？Pi 为单根分量式为 时间分量 Pi 为二重根分量式有时间分量 必有 问题：高阶系统如何判断稳定性？3. 代数稳定性判据 劳斯判据（Routh)-不必求解闭环特征方程的根，利用闭环特征方程的系数判别稳定性 闭环特征方程 1.劳斯行列第一列不动，下移一行降一阶，右移一位降两阶；2.分母总是上一行第一个元素；3.次对角线减主对角线；4.一行可同乘以或同除以某正数；5.n阶系统的劳斯表共有n+1行。

系统稳定的充分必要条件是：1、必要条件： 同号，且处理为 形式；2、充分条件：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零，则系统稳定；如果第一列出现小于零的元素，则系统不稳定，并且第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目；如果出现零值，那么该系统存在纯虚根，系统不稳定1）给出了系统稳定的判断方法；（2）给出了不稳定情况下判断右根个数的方法例1 已知系统的特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目解： 根据特征方程的系数列出劳斯表：第一列元素不同号，所以系统不稳定第一列中数值符号改变两次，所以有两个正实部的根例2 特征方程为列写劳斯表： 用正数代替第三行第一列的0元素，继续计算劳斯表令0研究劳斯表的第一列元素符号第一列元素符号:改变两次，系统不稳定 劳斯判据的第一种特殊情况-第一例有零值出现：用极小的正数 代替如果第一列中的元素除了出现的零值外，其余全部大于零，则说明系统有临界稳定的特征根第一列系数改变符号的次数，即不稳定根个数劳思表出现零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳 思 表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办?3 如何求对称的根? 由零行的上一行构成辅助方程: 有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数: 2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3 解辅助方程得对称根: s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定 劳斯表中的某一行全部为零，则存在大小大小 相等，方向相反的根相等，方向相反的根。

出现零行时，可用零行的前一行作辅助多 项式P（s）由 的系数行代替零行， 完成劳斯表的计算 劳斯判据的第二种特殊情况例4：系统结构图如图所示，试确定系统稳定时 K 的取值范围解： 0 K 14 赫尔维茨 (Hurwitz)稳定性判据 系统特征方程的一般形式为 系统稳定的充分必要条件：1、特征式中的系数 同号，且处理为 形式2、特征方程的赫尔维茨行列式Dk(k=1，2，3，n)全部为正 各阶赫尔维茨行列式为 式中脚注大于n的系数或负脚注系数，均以零代之 例5 系统的特征方程为试用赫尔维茨判据，判别系统的稳定性 解： 由特征方程知各项系数为 稳定的充分必要条件 由于D20，则40K-270，得 K0.675 D2=a1a2-a0a3，则1115-(40K-27)0 ,得 K4.8所以满足要求的K 值范围为 0.675K4.8显然，比系统原来的稳定域0K14要小。