工学第七章欧氏空间课件.ppt

第七章　欧氏空间一、教学目标一、教学目标1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；2．掌握Schwarz不等式及应用；3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交补的概念及应用；4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系熟练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法二、重点：二、重点：　　内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，正交变换，对称变换三、难点：三、难点：正交变换，对称变换四、课时：四、课时： 20学时1工学第七章欧氏空间§７．１向量的内积 定义定义1 1 设V是R上一个向量空间，如果 有一个确定的实数记作 与它对应，并且满足：１）２）３）４）这里 叫向量 的内积，而V叫做对这个内积来说的一个欧氏空间，记作 2工学第七章欧氏空间说明：①定义中的 1）——4）称为内积公理②这里把内积的符号记为 主要是与 中内积相区别，也就是说 是对实数域上 的所有向量空间通用的符号 ③今后，谈到欧氏空间 ，如无特殊情况，它的内积为：3工学第七章欧氏空间内积的性质： （1） ，有 （2）如果 ，有 特别地，若 （3） （4） 4工学第七章欧氏空间定义2 设 ① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数② ③ 长度是1的向量，称为单位向量。

即 为单位向量 ④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量 事实上： 即为单位向量 说明：说明：5工学第七章欧氏空间定理定理1 1 在欧氏空间中， ，有：当且仅当 线性相关，等式成立 ① 由定理1得： 这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式说明：6工学第七章欧氏空间因此我们也把不等式（１）叫Cauchy－Shwarz不等式在 中， ，规定 则 这也是大家熟知的Shwarz(施瓦兹)不等式② ，当 正交时，等式成立 称为内积勾股定理 7工学第七章欧氏空间设是欧氏空间 的两个非零向量. 的夹角为θ.定义: 说明说明: : ① ∵ ∴ ∴这样定义是符合意义的, 且 的夹角θ 是唯一确定的 定义定义3 38工学第七章欧氏空间② 由 则: ③ 当 补充定义补充定义: : 零向量与任意向量均正交. 推广：推广：在欧氏空间中， 中每个向量正交.则 的任意线性组合也正交.即 9工学第七章欧氏空间定义定义4 4 在欧氏空间中. 的距离 说明：说明：① 的距离实际是 的长度. ② 距离的性质: （i）正定性：当 (ii) 对称性： (iii) 三角不等式： 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。

iii）在解析几何中的意义是：三角形两边之和大于第三边10工学第七章欧氏空间定理定理2 2 如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么对V的内积来说，W也是一个欧氏空间11工学第七章欧氏空间7.2 正交基正交基定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组如果这组向量都是单 位向量则称为一个标准正交组 说明： ① 正交组是线性无关的向量组 ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果 是n维欧氏空间Ｖ的一组正交组.则称 为V的一个正交基.如果 是n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正交基.12工学第七章欧氏空间定理1 向量 关于一个标准正交基的第i个坐标等 于 与第ｉ个基向量的内积. 定理2 设 是欧氏空间v的一个线性无关组，那么可以求出v的一个正交组 使得 可由 线性表示出。

k=1，2，m）说明： ①此定理不仅给出标准正交组是存在的而且给出一个具体求正交组的方法使得我们可由任一个线性无关组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法有的书上称为施密特正交化方法 ②对于n 维欧氏空间v，如果 是v的基则由正交化方法可得到v的一个正交基 进而得到v 的一个标准正交基 即n维欧氏空间v一定有正交基因而有标准正交基 ③ 称为正交化公式 13工学第七章欧氏空间定义2. 一个n阶实矩阵Ｕ叫做一个正交矩阵，如果： 说明：由定义得： 说明： 定理3：维欧氏空间Ｖ的一个标准基到另一个标准 正交基的过渡矩阵Ｕ的正交矩阵 （1）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性 （2）由定理可以得到：如果 是标准正交基,Ｕ是正交矩阵，则由 = Ｕ得到是标准正交基。

14工学第七章欧氏空间定义3、设W是欧氏空间V的一个非空子集.如果 ,且 与W中每一个向量正交，则称 与W正交，记为:说明： ①V中与W正交的向量所成的子集记为 , ② ③W是V的一个子空间.15工学第七章欧氏空间定理4. 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间. 那么因而V中每一向量可以唯一写成这是 , .是唯一的.定理5 设W是欧氏空间V的一个有限维子空间， ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射 影，那么对于W中任意向量 .都有说明: 把在上的正射影叫做到的最佳逼近.16工学第七章欧氏空间定义定义4 4 欧氏空间 是同构的，如果： （i）存在 的一个同构映射： （ii）对 都有 说明：说明： ①（ii）称为保内积不变 ②如果 是欧氏空间 的同构映射，则 是向量空间 的同构映射，因而同构的 欧氏空间有相同维数 定理定理6 6 说明：说明： ① 任意n维欧氏空间与 同构 两个有限维欧氏空间同构 维数相等 ②欧式空间的结构完全被它的维数所决定。

17工学第七章欧氏空间7.3 7.3 正交变换正交变换定义定义1. 1.欧氏空间 的一个线性变换 叫做一个正交变换如果对于任意 都有：说明：保持向量长度不变的线性变换叫正交 变换旋转变换，镜面反射等都是正交变换）18工学第七章欧氏空间 定理定理1. 1. 设 是欧氏空间的一个线性变换则（保持内积不变） 是正交变换 （ ）（保持长度不变）说明：正交变换保持夹角不变把 的标准正交基仍旧变成标准正交基 关于 的标准正交基的矩阵是正交矩阵19工学第七章欧氏空间7.4 7.4 对称变换和对称矩阵对称变换和对称矩阵定义2 若 是数域 上 阶矩阵，如果等于它的转量，即 ，则称 是对称矩阵定义1 设 是欧氏空间 的一个线性变换则称 是一个对称变换如果对 ，有20工学第七章欧氏空间定理定理1 1 设 是欧氏空间 的一个线性变换， 是对称变换 关于 的标准正交基的矩阵是对称矩阵。

说明：对称变换与对称矩阵是1-1对应的定理定理2 2 实对称矩阵的特征根都是实数说明：由于我们是在实数域上引入向量的“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域上进行讨论的，故对称变换 的特征多项式的根都是 的特征根21工学第七章欧氏空间定理定理3 3：：n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交说明：一个线性变换关于不同特征根的特征向量是线性无关的定理定理4 4：：设 是n维欧氏空间 的一个对称变换那么存在 的一个标准正交基，使得 关于这个基的矩阵是对角形式说明：① 欧氏空间 的对称变换可以对角化即如果 是对称变换，则存在 的标 准正交基使得 关于这个基的矩阵是对角形式 22工学第七章欧氏空间②要使 有一个正交基，而 在这个基下的矩阵是对角形式，则 一定是对称变换即对称变换 可以使 有一个由 的特征向量组成的正交基③ 对称变换与对称矩阵1-1对应，则由对称变换可对角化到对称矩阵可对角化即设 是一个n阶实对称矩阵则存在一个n阶正交矩阵 使得 是对角形式 23工学第七章欧氏空间 最后我们给出具体求最后我们给出具体求U U的方法的方法: : 由 故 第七章给出的求可递矩阵 的方法。

是对角形式,但这样求出的 ,一般说来还不是正交矩阵 是过渡矩阵),然而,注意到 的列向量是 的特征向量.对于不同特征根的特征向量来说是彼此正交的.因此,我们还需要再对 中同一个特征根的线性无关向量施行正交化手续就得到了要求的 .具体步骤:24工学第七章欧氏空间 1）求出 的特征根 是 的不同特征根; 2）对每一 ;解方程组: 得基础 解系.这就是 的一组基.由这组基施行正交 化,得到 的一组标准正交基 3）以这些标准正交基为到向量排成一列 即为所求25工学第七章欧氏空间7.5 酉空间定义1. 设V是复数域上一个向量空间，如果对于V中任意一对ξ、η向量，有一个确定的复数 与它们对应，则＜ξ，η＞叫做ξ与η的内积，并且下列条件满足： 1） ， 是 的共轭复数；2） 3） 4） 是非负实数,并且当 时， ， 是V中任意向量, α是C中任意数，那么V叫做对于这个内积来说是一个酉空间。

26工学第七章欧氏空间设V是酉空间，则 （1） （2） （3） （4） 27工学第七章欧氏空间定义2 设 是酉空间, 为 的长度说明： ①当 当 ②当 ③ 定理1. 设 是酉空间, 当且仅当 线性相关时，等式成立.即：柯西—施瓦兹不等式在酉空间中也成立28工学第七章欧氏空间 定义3. 设 是酉空间， 时， 称 正交. 说明：零向量与任意向量相交 定义 4. 的一组两两正交的向量组叫 的一组正交组， 的正交组中每一个向量都是单位向量，则称该正交组为一个规范正交组说明：与欧氏空间一样,设V是n维酉空间则：① 中两两正交的n个线性无关的向量组 叫的 一个正交基② 中两两正交的个线性无关的单位向量 叫的一个标准正交基。

③ 中一组线性无关的向量组，总可以用施密特正交化方法进行正交化，并扩充成一个标准正交基29工学第七章欧氏空间定义5. 设 是酉空间 的一个有限维子空间令 则 是 的子空间，称为 的正交补，且 . 定义6. 设 是 n阶复矩阵，如果 则称为一个酉矩阵①（其中 的共轭）② 定理2. n维酉空间一个规范正交基则另一个规范正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵30工学第七章欧氏空间7.6 7.6 酉变换的对称变换酉变换的对称变换定义定义1: 1: 酉空间的一个线性变换σ是一个酉变换. 如果 都有与欧氏空间平行,有:σ是维的酉空间的一个线性变换,则σ是酉变换 σ把规范正交基变为规范正交基 σ关于规范正交基的矩阵是酉矩 阵说明:31工学第七章欧氏空间定义定义 2: 2: 酉空间了 的一个线性变换σ叫做一 个对称变换(也称为厄米特变换).如果 对 都有定义定义 3: 3: 阶复矩阵 是一个埃尔米特矩阵,如 果 。

1 实对称矩阵 是一个厄米特矩阵的特殊情况.说明：说明：32工学第七章欧氏空间 定理定理 1: 1: σ是 维酉空间 的一个线性变 换,则σ是对称变换 σ关于规范 正交基的矩阵是厄米特矩阵.定理定理 2: 2: 设σ是 维酉空间的一个对称变 换.则 (1) σ的特征值都是实数. (2)σ属于不同基特征值的本 征向量彼此正交. 此定理给出对称变换的性质.定理定理3 3：：设 是一个 阶厄米特矩阵,则存在 一个 阶酉矩阵,使得 是一个实对角形式. 即: 任何一个 厄米特矩阵都“酉相似”一个实对角阵.说明:33工学第七章欧氏空间。