2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷).doc

2018年全国各地中考数学压轴题汇编〔XX专版几何综合参考答案与试题解析1．〔2018•威海如图,将矩形ABCD〔纸片折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕；点C与AD边上的点K重合,FH为折痕．已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=+1,求BC的长．解：由题意,得：∠3=180°﹣2∠1=45°,∠4=180°﹣2∠2=30°,BE=KE、KF=FC,如图,过点K作KM⊥BC于点M,设KM=x,则EM=x、MF=x,∴x+x=+1,解得：x=1,∴EK=、KF=2,∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++,∴BC的长为3++．2．〔2018•枣庄如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上．〔1在图1中,画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；〔2在图2中,画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；〔3在图3中,画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．解：〔1如图所示,△DCE为所求作〔2如图所示,△ACD为所求作〔3如图所示△ECD为所求作3．〔2018•枣庄如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D．〔1求线段AD的长度；〔2点E是线段AC上的一点,试问：当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切？请说明理由．解：〔1在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm；连接CD,∵BC为直径,∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴,∴；〔2当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切；证明：连接OD,∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD,∴ED与⊙O相切．4．〔2018•潍坊如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE．〔1求证：AE=BF；〔2已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值．〔1证明：∵四边形ABCD为正方形,∴BA=AD,∠BAD=90°,∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,在△ABF和△DEA中,∴△ABF≌△DEA〔AAS,∴BF=AE；〔2解：设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,∵四边形ABED的面积为24,∴•x•x+•x•2=24,解得x1=6,x2=﹣8〔舍去,∴EF=x﹣2=4,在Rt△BEF中,BE==2,∴sin∠EBF===．5．〔2018•XX如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD〔AE＜BD的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．〔1求证：PA•BD=PB•AE；〔2段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形？若存在,请给予证明,并求其面积；若不存在,说明理由．解：〔1∵DP平分∠APB,∴∠APE=∠BPD,∵AP与⊙O相切,∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°,∴∠EAP=∠B,∴△PAE∽△PBD,∴,∴PA•BD=PB•AE；〔2过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,∵DP平分∠APB,AD⊥AP,DF⊥PB,∴AD=DF,∵∠EAP=∠B,∴∠APC=∠BAC,易证：DF∥AC,∴∠BDF=∠BAC,由于AE,BD〔AE＜BD的长是x2﹣5x+6=0,解得：AE=2,BD=3,∴由〔1可知：,∴cos∠APC==,∴cos∠BDF=cos∠APC=,∴,∴DF=2,∴DF=AE,∴四边形ADFE是平行四边形,∵AD=AE,∴四边形ADFE是菱形,此时点F即为M点,∵cos∠BAC=cos∠APC=,∴sin∠BAC=,∴,∴DG=,∴段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE=2×=6．〔2018•XX[问题解决]一节数学课上,老师提出了这样一个问题：如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数．请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程．[类比探究]如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数．解：〔1思路一、如图1,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP'≌△CBP,∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,在Rt△PBP'中,BP=BP'=2,∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=2,∵AP=1,∴AP2+PP'2=1+8=9,∵AP'2=32=9,∴AP2+PP'2=AP'2,∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；思路二、同思路一的方法；（2） 如图2,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP'≌△CBP,∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=,在Rt△PBP'中,BP=BP'=1,∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=,∵AP=3,∴AP2+PP'2=9+2=11,∵AP'2=〔2=11,∴AP2+PP'2=AP'2,∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．7．〔2018•东营如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上．〔1求证：∠CAD=∠BDC；〔2若BD=AD,AC=3,求CD的长．〔1证明：连接OD,如图所示．∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC．〔2解：∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴=．∵BD=AD,∴=,∴=,又∵AC=3,∴CD=2．8．〔2018•XX在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛〔如图所示面积的方法,现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺〔CD所在的直线垂直平分线段AB．〔1在图1中,请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图〔保留画图痕迹,不写画法；〔2如图2,小华说："我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M,N之间的距离,就可求出环形花坛的面积"如果测得MN=10m,请你求出这个环形花坛的面积．解：〔1如图点O即为所求；〔2设切点为C,连接OM,OC．∵MN是切线,∴OC⊥MN,∴CM=CN=5,∴OM2﹣OC2=CM2=25,∴S圆环=π•OM2﹣π•OC2=25π．9．〔2018•潍坊如图,BD为△ABC外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C．〔1求证：AE与⊙O相切于点A；〔2若AE∥BC,BC=2,AC=2,求AD的长．证明：〔1连接OA,交BC于F,则OA=OB,∴∠D=∠DAO,∵∠D=∠C,∴∠C=∠DAO,∵∠BAE=∠C,∴∠BAE=∠DAO,〔2分∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,即∠DAO+∠BAO=90°,〔3分∴∠BAE+∠BAO=90°,即∠OAE=90°,∴AE⊥OA,∴AE与⊙O相切于点A；〔4分〔2∵AE∥BC,AE⊥OA,∴OA⊥BC,〔5分∴,FB=BC,∴AB=AC,∵BC=2,AC=2,∴BF=,AB=2,在Rt△ABF中,AF==1,在Rt△OFB中,OB2=BF2+〔OB﹣AF2,∴OB=4,〔7分∴BD=8,∴在Rt△ABD中,AD====2．〔8分10．〔2018•东营〔1某学校"智慧方园"数学社团遇到这样一个题目：如图1,在△ABC中,点O段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO：CO=1：3,求AB的长．经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题〔如图2．请回答：∠ADB=　75　°,AB=　4．〔2请参考以上解决思路,解决问题：如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的长．解：〔1∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA,∴△BOD∽△COA,∴==．又∵AO=,∴OD=AO=,∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB,∴AB=AD=4．故答案为：75；4．〔2过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示．∵AC⊥AD,BE∥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,∴==．∵BO：OD=1：3,∴==．∵AO=3,∴EO=,∴AE=4．∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE．在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即〔42+BE2=〔2BE2,解得：BE=4,∴AB=AC=8,AD=12．在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,解得：CD=4．11．〔2018•枣庄如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG．〔1求证：四边形EFDG是菱形；〔2探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由；〔3若AG=6,EG=2,求BE的长．解：〔1证明：∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．〔2EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE,交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形,∴GF⊥DE,OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,∴△DOF∽△ADF．∴,即DF2=FO•AF．∵FO=GF,DF=EG,∴EG2=GF•AF．〔3如图2所示：过点G作GH⊥DC,垂足为H．∵EG2=GF•AF,AG=6,EG=2,∴20=FG。