线性代数第17讲.docx

§5.1线性空间的概念我们已经把平面和空间的几何向量推广到由有序数组定义的n 维向量，并把n维向量的全体所构成的集合Rn叫做n维向量空间. 这里要说明一点：由n维行向量组成的空间与由n维列向量组成的空 间在结构上是完全相同的，所以都记为R n.但人们在讨论各种问题时，常常遇到各种不同的集合与运算（该 集合元素未必是有序数组）.例如，讨论全体m x n矩阵所构成的集 合，我们可以定义它们的加法和数乘，并且我们知道这些运算满足交 换律、结合律、分配律等8条规律.当抽去这些集合中对象（也称元 素）的具体属性及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量 的加法规则是完全不同的），我们考虑这些集合的结构：其对象的“线 性运算”和它的“运算规律”，从而就可以建立一个数学模型：线性 空间.设V是一个非空集合，其元素用字母a, P,7,…表示；F是 一个数域，用字母人，日，…表示数域F中的数.定义1 （线性空间的定义）称非空集合V是数域F上的线性空 间，如果集合V具备下列两个条件：1. F中定义了加法运算,即给出一个规则，使得对于任意 a e V, P g V ,由这个规则可唯一确定一个元素7 = a + p g V, y叫做元素a与p的和.这个加法运算须满足如下4条基本运算规律：(i) a + p = p + a. (加法交换律)(ii) (a + p) + y = a + (p + y ). (加法结合律)(iii) V中有零元素0,使0 + a = a对任何元素a u V成立.(iv) 对每个元素a u V ,都有负元素(- a)存在，使 a + (— a) = 0.2. F中的数与V中的元素之间定义了数乘运算，即给出一个 规则，使得对于任意指定的数入GF及元素a e V,由这个规则可 唯一确定一个元素人a e V, *叫做数人与元素a的乘积・这个 数乘运算须满足如下4条基本运算规律：(v) 1 a = a.(vi) 人(a + p)=人 a + 人 p.(vii) (人+p) a =人 a +p a.(viii) X (日 a)=(杯)a.(简言之定义了线性运算且此运算满足8条法则的集合叫线性空间) 借用几何语言，把线性空间V的元素也称为向量.线性空间又 可称为向量空间.把V称为线性空间是因为它所具有“加法”与“数 乘”运算，而这两种运算合称为线性运算.实数域R上的线性空间简称为实空间，复数域c上的线性空间 简称为复空间.我们主要讨论实空间.在不做特殊说明时，线性空间 均指实线性空间.我们把分量为数域F中的数的全体n维向量(有序数组)所构 成的线性空间记作f n.当F为实数域时，此n维向量空间记作Rn. 当n = 1,2,3时，它就是直观的几何空间；当n > 3时，Rn不再有 直观的几何意义.竺数域F上的全体m X n矩阵(即矩阵的元素均为f中的 数)关于矩阵加法及数乘矩阵的运算构成一个F上的线性空间，记 作M (F).(因：易知线性运算封闭，且满足8条规则)当数域F为实数域R时，此实线性空间记作m x (R).例2 n个未知量的实系数齐次线性方程组的全体解向量(它是 R n的一个子集合)，按照n维向量的加法及它与实数的乘法定义两 种运算，因为由齐次线性方程组的解的性质知其解集对线性运算是 封闭的，所以n个未知量的实系数齐次线性方程组的全体解向量构 成一个实线性空间，称为齐次线性方程组的解空间.特别，当齐次线 性方程组只有零解时，它的解空间只有一个元素一一零向量.只有零元素的空间称为零空间.注 非齐次线性方程组的解集 V = {x [Ax = b }不构成一 个线性空间.这是因为：当V为空集时，无法定义加法，故v不是 线性空间；当v非空时，若n e V，贝U a(2n)= 2b Wb,故知 2n w V.即对数乘运算不封闭.(显然对加法运算也是不封闭的)例3证明正弦函数的集合S [ x ] = { A sin (x + B) A, B e R }对于通常的函数加法与数乘三角函数的运算构成线性空间 ・证 首先易知用数人乘三角函数的运算是封闭的.我们利用三 角函数的性质证明集合中的元素对加法也是封闭的.A sin ( x + B ) + A sin ( x + B )=(a cos x + b sin x ) + (a cos x + b sin x )1 1 2 2=(a + a )cos x + (b + b )sin x12 12=A sin(x + B) e S [x].因为集合S [ x]中的加法和数乘运算都是普通的线性运算,所以它满足定义1中8条运算规律的要求.从而S [ x]是一个线性空间.例 4次数不超过n的多项式的全体，记作P [x ],即P [ x] = { a xn + a xn -1 H F a x + a a，a，…，a e R },n n n — 1 1 0 0 1 n对于通常的多项式加法、数乘多项式两种运算构成线性空间.例5 设［。

b ］是实数轴上的一个闭区间，［a, b ］上连续函 数的全体记作C ［a, b ］•因为［a, b ］上两个连续函数的和以及一 个实数与其上连续函数的乘积仍是［a, b ］上的连续函数，所以C ［a, b ］对线性运算是封闭的・显然它们满足8条运算规律.故C ［a, b ］是实数域r上的一个线性空间.例6设V是所有收敛于0的实数无穷序列所构成的集合，即a g R, lim a = 0 >, n n t 8 n其中R是实数域.读者容易验证V是R上的一个线性空间.线性空间V具有以下重要性质.性质1线性空间的零元素是唯一的.证设0 1,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何a g V, 有a + 01 = a , a + 02 = a.于是特别有0 + 0 = 0 , 0 + 0 = 0 ,2 12 12 1所以0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 .这就证明了零元素的唯一性.112 2 1 2性质2任一元素的负元素是唯一的.a的负元素记作-a证 设a有两个负元素P，7，即a + P = 0, a + 7 = 0.于是p = p + 0 = p + (a + y ) = (a + p) + y = 0 + y = y.这就证明了负元素的唯一性・性质3 0 a = 0; （-1） a = - a;入 0 = 0.证 a + 0 a = 1 a + 0 a = （1 + 0） a = a.所以 0 a = 0.a + （一 1） a = 1a + （一 1） a = （1 一 1） a = 0a = 0.所以（-1） a = -a.人0 = X[a + （—1）a] = X a + （—人）a =[人 + （—人）]a = 0a = 0.性质4如果x a = 0,贝gX = 0或a = 0.证若x壬0,在x a = 0两边乘L,得X1c 1 一 一（X a） = 0 = 0,X X而；（人a）=（；人）a = 1 a = a,所以 a = 0.若v是f上的线性空间，我们把v的元素称为向量,这是因为这 些元素有类似几何向量的运算性质，而不去考虑每个对象的个别特 性.例如，多项式、连续函数、矩阵等作为所性空间的元素都可 以叫做向量.从以后的学习中可以看出，线性空间是让抽象的代数得 到几何的具体联想.两种思想方法通过线性空间能够得以沟通.另 外，线性空间的概念可以凸显出数学的两大特点：理论的抽象性和应 用的广泛性.。