数学模型和建模方法.doc

模型类型及建模方法1、模型的分类1、优化模型主要用于解决人们在工程技术、经济管理和科学研究中遇到的要求最优解的问 题，如求利润最高、运费最低等问题优化模型有四要素：决策变量、目标函数、约束条件、求解方法（主要应用lingo,matlab,excel 来求解）优化模型又可以分为：线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题）非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非线性的函数）整数规划（决策变量是整数值的规划问题）多目标规划（具有多个目标函数的规划问题）目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规划问题）动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）2、微分方程和差分模型主要用于解决描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段在建模的过程中首先要根据建模的目的和对问题的具体分析做出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程常用的为 logistic 模型，它有两个基本假设 1、假设人口数量 x(t)是时间 t 的连续可微函数，且 x0()2、人口数量的增长速度于现有人口数量成正比，比例系数为 r3、统计回归模型主要用于解决人们无法用机理分析方法建立模型时，通常的办法就搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型，常为统计回归模型。

统计回归模型又包括线性回归、一元二项式回归、多元二项式回归、非线性回归统计回归模型解决时的主要步骤为：1、根据所给的或搜集的数据画出散图，再配曲线类型2、根据曲线类型得出变量之间的关系式3、最后对模型进行求解4、概率模型主要用于解决随机因素对研究对象的影响必须考虑时，就应该建立随机模型中比较简单的概率模型5、图论模型主要用于解决邮递员、交通刑警等在执行任务时在最短时间内完成任务的问题6、马氏链模型主要用于解决已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程无后效性为：系统在每个时期所处的状态是随机的， 从一时期到下时期的状态按一定概率转移，下时期状态只取决于本时期状态和转移概率7、层次分析模型主要用于解决人们在处理一些决策问题的时候要考虑的因素有多有少，有大有小，但是都有一个共同的特点是它们都涉及经济、社会、人文等方面的因素在作比较、判断、评价、决策时这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观意识会起很大作用具体作法为：先写出正互反矩阵，根据正互反矩阵求出矩阵 A 的最大特征值[X B]=eig(A) %求 A 的特征值和特征向量w=[-0.4658/sum(X(:,1)) -0.8409 /sum(X(:,1)) -0.0951 /sum(X(:,1)) -0.1733/sum(X(:,1)) -0.1920/sum(X(:,1))] %把特征向量归一CI 一致性指标为：(最大特征值 -n)/(n-1)CR 一致性比率为：CI/RI RI 查表可得若 CR<0.1 则特征向量可作为权向量最后算组合权向量8、时间序列模型主要用于解决按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。

二、建模常用的方法1、插值与拟合给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面时要用插值和拟合的方法来做，而插值问题是要求所求曲线（面）通过所给所有数据点；拟合问题是若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势1.1、插值1.11、一维插值方法为：拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值常用三次样条插值具体如下：yi=interp1(x，y ，xi，'method') %yi 是 xi 处插值的结果，xi 为被插值点，x,y 插值节点，method 为插值的方法（ nearest 最邻近插值，linear 线性插值，spline 三次样条插值，cubic立方插值，缺省时为线性插值） ，需要注意的是所有的插值方法都要求 x 为单调的，xi 的值不超过 x 的取值范围1.12、二维插值方法有网格节点插值法和散点数据插值法具体方法如下：网格节点的数据插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) %z 为被插值点的函数值，x,y 为被插值点，x0,y0,z0 为插值节点，method 为插值的方法（nearest 最邻近插值，linear双线性插值，cubic 双三次插值，缺省时双线性插值） ，需要注意的是要求 x0,y0 单调，x，y 可取为矩阵，或 x 取行向量，y 取为列向量，x,y 的值分别不能超出 x0,y0 的范围。

散点数据插值： cz =griddata（x，y，z，cx，cy， ’method’） %cz 为被插值点的函数值，x,y,z 为插值节点，cx,cy 为被插值点，method 为插值的方法（nearest 最邻近插值，linear 双线性插值，cubic 双三次插值，'v4'- MATLAB 提供的插值方法，缺省时, 双线性插值） ，需要注意的是要求 cx 取行向量，cy 取为列向量1.2、拟合1.21、excel 拟合法具体做法如下：先做出散点图，再右击其中的一个点，选择添加趋势图，选择相应的图形即可1.22、一元多项式拟合具体做法如下：polyfit(x,y,m) %x,y 为一直的数据点，m 为拟合的次数1.23、最小二乘法做拟合具体做法如下：例：用下面一组数据拟合 ektbaC02.-)t(中的参数 a，b，kjt100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000310jc4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.591）编写 M 文件 curvefun1.mfunction f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;2）输入命令 tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit ('curvefun1',x0,tdata,cdata)2、优化方法优化方法主要有四要素决策变量、目标函数（尽量简单、光滑） 、约束条件（建模的关键） 、求解方法 （matlab,lingo）3、统计方法3.1、回归分析回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法 （线性回归、一元线性二项式回归、多元二项式回归、非线性回归） 。

它主要研究的问题是：建立因变量与自变量之间的回归模型（即经验公式） 、对回归模型的可信度进行检验、判断每个自变量对因变量的影响是否显著、判断回归模型是否适合这组数据、利用回归模型进行预报或控制具体的 matlab 编程为：1、线性回归主要作法如下：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) %b 回归系数的区间估计 Bint 为 b 的置信区间 r 为残差向量 rint 为 r 的置信区间 stats 为回归模型的检验统计量有四个值第一个为相关系数，第二个为 F 统计量，第三个为与 F 统计量相对应的概率，第三个为剩余方差2、一元二项式回归的主要作法如下：[p,S]=polyfit（x,y,m）%确定多项式的系数，m 为多项式的次数，p 为多项式的系数，S 是一个矩阵用于做预测用Y=polyval（p，x） %用来做预测[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）%polyfit 所得的回归多项式在 x 处的预测值 Y及预测值的显著性为 1-alpha 的置信区间 Y  DELTA3、多元二项式回归的主要做法如下：rstool（x，y，’model’, alpha） model 是指 linear（线性）、 purequadratic（纯二次）、interaction （交叉）、quadratic（完全二次）4、非线性回归的主要作法如下：[beta， r，J]=nlinfit （ x,y’,’model’,beta0） %确定回归系数，beta 估计出的回归系数，r 为残差，model 为事先建立的 M 文件，betao 为回归系数初值nlintool（x，y， ’model’, beta0，alpha）%非线性回归命令[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）%用来做预测 nlinfit 所得的回归函数在 x 处的预测值 Y 及预测值的显著性水平为 1-alpha 的置信区间 Y  DELTA。

3.2、逐步回归分析逐步回归分析是从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大（主要是指 F 值的大）到地依次逐个引入回归方程，当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉，引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步，对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量，这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止运用 matlab 实现的过程具体如下：stepwise（x，y，inmodel，alpha ） %x 为自变量数据, mn阶矩阵，y 为因变量数据， 1n阶矩阵，inmodel 为矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量） ，alpha 显著性水平（缺省时为 0.05） 运行 stepwise 命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History 在 Stepwise Plot 窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间Stepwise Table窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差 （RMSE ） 、相关系数（R-square ） 、F 值、与 F 对应的概率 P。

3.3、聚类分析聚类分析是所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些 能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类聚类分析内容非常丰富，有系统聚类法、有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法、聚类预报法等常用的是系统聚类分析系统聚类法的基本原理：首先将一定数量的样品（或指标）各自看成一类，然后根据样品（或指标）的亲疏程度，将亲疏程度最高的两类合并，如此重复进行，直到所有的样品都合成一类（即，将一个样品看作 P 维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类） 衡量亲疏程度的指标有两类：距离、相似系数主要作法如下：计算距离y1=pdist(x); %计算样本点间的欧式距离y2=pdist(x,'seuclid'); %计算样本点间的标准化欧式距离y3=pdist(x,'mahal'); %计算样本点间的马式距离y4=pdist(x,'cityblock'); %计算样本点间的布洛克距离（海明距离）计算系统聚类树以及相关信息z1=linkage(y1);z2=linkage(y2);z3=linkage(y3);z4=linkage(y4);利用 cophenet 函数计算聚类树信息与原始数据的距离之间的相关性，这个值越大越好a1=cophenet(z1,y1)a2=cophenet(z2,y2)a3=cophenet(z3,y3)a4=cophenet(z4,y4)选择具。