2013年江苏卷（数学）(教育精品).doc

2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分一．填空题1．函数的最小正周期为 2．设（为虚数单位），则复数的模为 3．双曲线的两条渐近线的方程为 4．集合共有 个子集5．下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界）若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 10．设分别是的边上的点，，，若 （为实数），则的值为 11．已知是定义在上的奇函数当时，，则不等式的解集用区间表示为 。

12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数 的值为 二．解答题：15．本小题满分14分1）若，求证：；（2）设，若，求的值16．本小题满分14分如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面； （2）.17．本小题满分14分如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围xyAlO18．本小题满分16分如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲．乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。

1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？CBA19．本小题满分16分设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记，，其中为实数1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：20．本小题满分16分设函数，，其中为实数1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论卷Ⅱ 附加题部分答案word版［选做题］第21题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分如图，和分别与圆相切于点，经过圆心，且求证：21．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分已知矩阵，求矩阵21.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），曲线C的参数方程为 （为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标21．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。

已知＞0，求证：［必做题］第22、23题，每题10分，共20分请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22．本小题满分10分如图，在直三棱柱中，,,,点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求平面与所成二面角的正弦值23．本小题满分10分设数列，即当时，，记，对于，定义集合（1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数参考答案一、填空题1． 2．5 3． 4．8 5．3 6．2 7．． 8． 9．10． 11． 12． 13．或 14．12二、解答题15．解：（1）∵ ∴ 即，又∵，∴∴∴（2）∵ ∴即 两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵ ∴16．证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC同理：FG∥平面ABC又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面（2）∵平面平面平面平面=BCAF平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC 又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA17．解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为∴圆的方程为：显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即∴∴∴∴或者∴所求圆C的切线方程为：或者即或者（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）则圆的方程为：又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点∴由得由得终上所述，的取值范围为：18．解：（1）∵，∴∴， ∴ 根据得（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则∴∵即∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。

3）由正弦定理得（m）乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C设乙的步行速度为V ,则∴∴∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．故乙步行的速度应控制在[，]范围内．CBADMN19．证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和∴（1）∵ ∴∵成等比数列 ∴ ∴∴ ∴ ∵ ∴ ∴∴∴左边= 右边=∴左边=右边∴原式成立（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得： ∴对恒成立∴由①式得： ∵ ∴ 由③式得：法二：证：（1）若，则，，．当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2）， ． (※)若是等差数列，则型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．20.解：（1）由即对恒成立，∴而由知＜1 ∴由令则当＜时＜0，当＞时＞0，∵在上有最小值∴＞1 ∴＞综上所述：的取值范围为（2）证明：∵在上是单调增函数∴即对恒成立，∴而当时，＞ ∴分三种情况：（Ⅰ）当时， ＞0 ∴f（x）在上为单调增函数∵ ∴f（x）存在唯一零点（Ⅱ）当＜0时，＞0 ∴f（x）在上为单调增函数∵＜0且＞0∴f（x）存在唯一零点（Ⅲ）当0＜时，，令得∵当0＜＜时，＞0；＞时，＜0∴为最大值点，最大值为①当时，，，有唯一零点②当＞0时，0＜，有两个零点实际上，对于0＜，由于＜0，＞0且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点另外，当，＞0，故在上单调增，∴在只有一个零点下面考虑在的情况，先证＜0为此我们要证明：当＞时，＞，设 ，则，再设∴当＞1时，＞-2＞0，在上是单调增函数故当＞2时，＞＞0从而在上是单调增函数，进而当＞时，＞＞0即当＞时，＞，当0＜＜时，即＞e时，＜0又＞0 且函数在上的图像不间断，∴函数在上有存在零点，又当＞时，＜0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当时，的零点个数为1；当0＜＜时，的零点个数为221．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C∴,又∵∴～∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为,∴==21．C解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①同理得曲线C的普通方程为 ②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为，21．D证明：∵又∵＞0，∴＞0，,∴∴∴22．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。

解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，,,,∴,∴∴异面直线与所成角的余弦值为（2） 是平面的的一个法向量设平面的法向量为，∵,由∴ 取，得，∴平面的法向量为设平面与所成二面角为∴， 得∴平面与所成二面角的正弦值为23．本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，∴，，，，∴集合中元素的个数为5（2）证明：用数学归纳法先证事实上，① 当时， 故原式成立② 假设当时，等式成立，即 故原式成立则：，时，综合①②得： 于是由上可知：是的倍数而，所以是的倍数又不是的倍数，而所以不是的倍数故当时，集合中元素的个数为于是当时，集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为。