高等数学上期末试卷五.doc

2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A卷)参考答案及评分标准 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 3 .2.设是的一个原函数，则= ．3.曲线的拐点坐标是 .4.若，则 ．5． 0 .阅卷人得分二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.题号12345678910答案DCBCCCBCAA1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.A．； B．； C．； D．.2．是函数的（ ）.A．连续点； B．可去间断点； C．跳跃间断点； D．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）. A．1 ； B．2 ； C． ； D．.4．函数 在处（ ）. A．有定义但不连续； B．连续但不可导； C．连续且可导； D．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）． A．； B. ； C．； D. .6．函数（ ）. A．在内单调增加； B．在内单调减少； C．在内单调增加； D．在内单调减少.7．若可导，且，则（ ）. A．； B．； C．； D．.8．（ ）. A．0 ； B．2 ； C．1 ； D．.9．方程的通解是( ).A.； B.；C.； D..10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）． A． ； B．； C． ； D．． 阅卷人得分三、解下列各题（每小题6分，共12分）. 1．计算.解： 3分 . 6分2．计算． 解： 3分 . 6分阅卷人得分四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求． 解：两边分别对求导，得 ， 3分 当时，，代入上式，得 . 6分2. 设函数由参数方程所确定，求和.解： 3分 . 6分阅卷人得分五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．解： 3分 . 6分2．计算.解： 3分 . 6分3. 计算.解： 2分 5分 . 6分阅卷人得分六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，（1）求函数；（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积． 解：(1)，即，且当时，， 2分 与之对应的齐次线性微分方程的通解为， 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得， 故所求函数为. 6分 (2) . 10分阅卷人得分七、(本题10分). 由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中心角，使圆锥的容积为最大.解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为，又，，故 4分 6分令 得，当时，，当时，，因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，最大容积为. 10分阅卷人得分八、(本题8分). 证明：方程在区间内有唯一实根. 证明：令， 则， ，由零点定理知，至少存在一点，使. 4分由，，知在内单调增加，所以方程在区间内有唯一实根. 8分。