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浅谈布朗运动吉林大学物理学院浅谈布朗运动摘要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程, 是一个最基本、最简单同时乂是最重要的随机过程本文对应用随机过程中 的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了 阐述关键词：布朗运动的定义;布朗运动的性质；布朗运动的应用一、 概述1827年，英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒 做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动•爱因斯坦(Albert Einstein)-!* 1905年解释了布朗运动的原因，认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均 匀性造成了布朗运动.1918年，维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运 动的简明数学公式和一些相关的结论如今，布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用，如经 济学中，布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述.从数学角度来 看，布朗运动是一个随机过程具体的说，是连续时间、连续状态空间的过程二、 布朗运动的定义随机过程｛X (t),宀0｝如果满足:1、 X (0) = 0.2、 ｛X (t) , t>0｝有独立的平稳增量.3、 对每个t〉0, x(t)服从正态分布N( 0, b $ t)则称｛x(t) ,tno｝为布朗运动，也称维纳过程。

常记为 B(t),T>0 或 W(t), TnO如果,称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数X0X花,它是维纳 随机函数三、布朗运动的性质1、 它是高斯随机函数可以看出它对空间和时间都是均匀的2、 它是马尔科夫随机函数它的转移概率密度是:3、 如%(/)(/ <0)是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动1) 、X,(z) = cX(r/c2) (c〉0 为常数，t$0)(2) 、X2(z) = X(r + /?)-X(/z) (h>0 为常数，tNO)⑶、a〉o)[o a=o)4、 标准布朗运动的协方差函数CG』) = kmin(s,/)5、标准布朗运动非均方可微由于布朗运动X(r)是维纳随机函数，而后者按照定义应有〈［W(f + s) — W(/)F)=(7讪因而令 X(t) = W(f)后，必有:X(f + 〃) — X (/) h"2=~h故lim/?tO"xa+/2)—xa)丫lim/?tO如果布朗运动是可微的，则按均方可微的意义应有：它表明：Hm//->()在上面的计算过程中应用了维纳随机函数的第(2)性质这和前一式相矛盾故布朗运动不是均方可微的。

U!布朗运动理论的应用1、郎之万方程设布朗粒子的质量为叫它在水平面x方向所受到的力分为两个部分一是与速度成正比的液体阻尼力-创/, 一是液体分子对粒子碰撞引起的随机力 F⑴于是按照牛顿的质点力学定律，布朗粒子在水平面x方向的运动方程为:dVm \-(xV = F(t)dt此方程成为朗之万方程一般而言方程应该是三维的，为简单起见，只 讨论一维的情形为简化记号可令0 = a I m , A⑴= F(/)/mo于是，上式成为单 位质量的算式即：—^/3V = A(t)dt此方程强烈的依赖于A⑴的性质对A⑴有下列几个经过实验检验的假 设：①“)与V无关;②(A(/)) = 0；③〈A(r)AG)〉r(—s)这最后一个条件反 映了 V(r)的马尔科夫性质因为V对时间的一阶微分方程的解完全决定于心心 时的初始条件如果方程中的随机加速度人⑴(也就是作用于单位质量的随机 力)具有所设定的函数相关，则『一时的随机加速度就不能改变时的运 动如果A⑴的相关函数有一段时间的延续例如〈他)4($)〉8 0讪即使给 定了心时刻的速度V（r0）,在r0--

这样,t>q时的运动不完全决定于％时刻的初始 条件即后一种相关函数会破坏卩⑴的马尔科夫性质对照可知，这种函数相 关的随机力有口噪声随机函数的性质2、 用布朗运动理论研究仪器的灵敏度测量仪器中的活动部分（如分析天平的称盘，悬线电流计的线圈等）在气体分 子的不平衡碰撞下也会产生布朗运动.随着科技的发展，仪器的灵敏度越来 越高，布朗运动对灵敏度的影响己成为现代精密测量中一个不可忽视的素.在 近代无线电技术（如卫星通讯）中，由于放大倍数很高，电涨落现象表现得特 别显著，引起热噪声，这个问题也需要用布朗运动理论来研究3、 用布朗运动理论研究各类扩散现象扩散现象的本质是布朗运动产生的位移，因此布朗运动理论可用于各类扩散 现象.例如半导体中载流子（电子或空穴）的扩散，原子核反应堆中中子的扩 散等，均可用布朗运动理论来研究4、 布朗运动理论在分形理论中的应用由于布朗运动轨线的不规则性是统计自相似的，也就是说，其轨线的某一小 部分放大后，在概率分布的意义上，跟某一较大部分具有相同的“形状”， 因此布朗运动也成为分形理论的重要研究对象，并发展出了分数布朗运 动”和“布朗曲面 等理论，后者己非常有效地用于计算机绘制的地貌图。

5、 布朗运动理论在现代金融顿域的应用布朗运动是随机涨落的典型现象，不仅用来作为许多自然现象的模型，而且 可以用来作为许多社会现象的模型早在1900年，法国数学家巴施利叶就已经在其研究股市的博士论文《投机理论》中，首先给出了布朗运动的数学描 述，当然，巴施利叶所谓的“布朗运动”，实质上指的是股市的价格变动， 换句话说，他把股价的变动，理想化为布朗运动.可见，在物理学界尚未把 布朗运动研究清楚之前，它象征“无规行走的意义，早就被经济研究所吸纳 To控制论创始人维纳于1923年对布朗运动做出了严格的数学定义根据这 一定义，布朗运动是一种独立增量过程，因而是一种马尔科夫过程，数学界 也常把布朗运动称为维纳过程。