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高考数学 第五章 第5课时 数列的综合应用知能演练轻松闯关 新人教A版.doc

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    • 高考数学 第五章 第5课时 数列的综合应用知能演练轻松闯关 新人教A版1.(xx·河南南阳一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式也为确定常数的是(  )A.a2+a15 B.a2·a15C.a2+a9+a16 D.a2·a9·a16解析:选C.因为S17为一确定常数,根据公式可知,a1+a17为一确定常数,又a1+a17=a2+a16=2a9,∴a2+a16+a9为一确定常数.2.若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km,此后每秒钟通过的路程增加2 km,若从这一秒钟起通过240 km的高度后,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是(  )A.10秒钟 B.13秒钟C.15秒钟 D.20秒钟解析:选C.设从这一秒钟起,经过x秒钟,通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2,公差为2的等差数列,故有2x+×2=240,即x2+x-240=0,解得x=15或x=-16(舍去).3.已知实数等比数列{an}中,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于(  )A.35 B.33C.31 D.29解析:选C.由a2·a3=a1·a4=2a1,得a4=2.又a4+2a7=,∴a7=.设等比数列{an}的公比为q,则a7=a4q3,∴q3=,∴q=,a1=16,∴S5==31.4.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则数列{an}(  )A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列解析:选C.∵Sn=an-1(a≠0),∴an=,即an=.当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.5.在如图所示的程序框图中,当输出T的值最大时,n的值等于(  )A.6 B.7C.6或7 D.8解析:选C.该程序框图的实质是输出以a1=64为首项,为公比的等比数列{an}的前n项的乘积Tn=a1a2…an(n=1,2,…,15),由于a7=1,所以在Tn(n=1,2,…,15)中,T6=T7且最大.6.夏季山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,则此山相对于山脚处的高度是________米.解析:∵每升高100米温度降低0.7 ℃,∴该处的温度变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8,d=-0.7.∴26+(n-1)(-0.7)=14.8,解之可得n=17,故此山相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(米).答案:1 6007.在等比数列{an}中,an>0,且a1·a2·…·a7·a8=16,则a4+a5的最小值为________.解析:由等比数列性质得,a1a2…a7a8=(a4a5)4=16,又an>0,∴a4a5=2.再由基本不等式,得a4+a5≥2=2.∴a4+a5的最小值为2.答案:28.设Sn是数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数,则称数列{an}为“和等比数列”.若数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”.解析:数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,所以2bn=2·4n-1=22n-1,bn=2n-1.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列{bn}是“和等比数列”.答案:是9.在正项数列{an}中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列.解:(1)由已知点An在y2-x2=1上知,an+1-an=1,∴数列{an}是一个以2为首项,以1为公差的等差数列.∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)证明:∵点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,∴Tn=-bn+1.①∴Tn-1=-bn-1+1(n≥2),②①②两式相减得bn=-bn+bn-1(n≥2),∴bn=bn-1,∴bn=bn-1.令n=1,得b1=-b1+1,∴b1=.∴{bn}是一个以为首项,为公比的等比数列.10.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业xx年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业xx年年底分红后的资金;(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解:设an为(2 010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*,则a1=2×1 000-500=1 500,a2=2×1 500-500=2 500,…,an=2an-1-500(n≥2).∴an-500=2(an-1-500)(n≥2),∴即数列{an-500}是首项为a1-500=1 000,公比为2的等比数列.∴an-500=1 000×2n-1,∴an=1 000×2n-1+500.(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,∴该企业xx年年底分红后的资金为8 500万元.(2)由an>32 500,即2n-1>32,得n>6,∴该企业从xx年开始年底分红后的资金超过32 500万元.[能力提升]1.已知数列{an},{bn}满足a1=1且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于(  )A.24 B.32C.48 D.64解析:选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.2.将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 014项与5的差即a2 014-5=(  )A.2 020×2 014 B.2 020×2 013C.1 010×2 014 D.1 010×2 013解析:选D.结合图形可知,该数列的第n项an=2+3+4+…+n+2,所以a2 014-5=4+5+…+2 016=4×2 013+=2 013×1 010.3.设数列{an}中,若an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2 014项和为________.解析:由“凸数列”的定义,可知,b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,…,故数列{bn}是周期为6的周期数列.又b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故数列{bn}的前2 014项和S2 014=b1+b2+b3+b4=1-2-3-1=-5.答案:-54.在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:①若{an}是等方差数列,则{a}是等差数列;②已知数列{an}是等方差数列,则数列{a}是等方差数列;③{(-1)n}是等方差数列;④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为________.解析:对于①,由等方差数列的定义可知,{a}是公差为p的等差数列,故①正确.对于②,取an=,则数列{an}是等方差数列,但数列{a}不是等方差数列,故②错.对于③,因为[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0(n≥2,n∈N*)为常数,所以{(-1)n}是等方差数列,故③正确.对于④,若a-a=p(n≥2,n∈N*),则a-a=(a-a)+(a-a)+…+(a-a)=kp为常数,故④正确.答案:①③④5.(xx·四川成都市诊断性检测)设函数f(x)=x2,过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1,以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2,再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2,…,以此类推得点An,记An的横坐标为an,n∈N*.(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式;(2)设直线ln与函数g(x)=logx的图象相交于点Bn,记bn=n·n(其中O为坐标原点),求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)证明:以点An-1(an-1,a)(n≥2)为切点的切线方程为y-a=2an-1(x-an-1).当y=0时,得x=an-1,即an=an-1.又∵a1=1,∴数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列.∴通项公式为an=()n-1.(2)据题意,得Bn(()n-1,n-1).∴bn=n·n=()n-1+()n-1·(n-1)=n()n-1.∵Sn=1×()0+2×()1+…+n×()n-1,Sn=1×()1+2×()2+…+n×()n,两式相减,得Sn=1×()0+1×()1+…+()n-1-n×()n=-n×()n.化简,得Sn=-(+)×()n=-.6.(选做题)(xx·浙江嘉兴质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-an(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=+++…+,试比较An与的大小.解:(1)证明:a1=S1=2-3a1得a1=,当n≥2时,由an=Sn-Sn-1得=×,所以是首项和公比均为的等比数列.(2)由(1)得=,于是2n·an=n,Tn=1+2+3+…+n=.所以=2,于是An=2=,而=,所以问题转化为比较与的大小.设f(n)=,g(n)=,当n≥4时,f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,所以f(n)>g(n).经验证当n=1,2,3时,仍有f(n)>g(n).因此对任意的正整数n,都有f(n)>g(n),即An<.。

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