薄板小挠度弯曲问题.doc

第七章弹性薄板弯曲问题要点：利用小挠度理论建立薄板弯曲问题的基本方程，边界条件及其基本解主要内容：1. 薄板的基本概念和基本假设2. 小挠度弯曲问题基本方程3. 薄板横截面内力4. 薄板边界条件§7.1薄板基本概念和基本假设工程构件中板的形式多样 根据几何形状和变形分类板—中面为平面壳— 曲面小挠度的弯曲薄板 板壳理论薄板——宽度与厚度比值在15以上§ 7.1基本概念几何特征小挠度薄板1/80 三沁 0.5§ 7.1基本概念§ 7.1基本概念载荷形式垂直于薄板中面的横向载荷挠度小于厚度的五分之一变形特点§ 7.1基本概念(9-1)dwdxdv dzdw du • dy，dz(2)应力分量q引起的形变可以不计1 .由此可得物理方程:丁右 QX — "by ) Qy= £ 叵 一 g )；(9-2)薄板问题基本假设:(1)形变分量6,兀 以不计由该假设可得：t E(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移叽° =°；(讥0 =0 (9-3)§7.2薄板小挠度弯曲问题的基本方程对方程(9-1)进行积分,dwu = — 7dx乙并利用方程(9・3)可得:于是可以将形变分量用w表示如下:§ 7.2基本方程4/dr薄板应力将应力分量表75成W的方程为:r]_/rEE(b)IF.n / ZI沁⑪将式(a)代入(b),得应力表达式: d2w-Ez d2w I — / (眉-Ez z62w+ V—-dy2d2w1-V-Ez d2w1-v(9-4)2 dxdy§ 7.2基本方程§ 7.2基本方程薄板弯內力§ 7.2基本方程§ 7.2基本方程-Eh12(1 — /)薄板弯曲刚度§ 7.2基本方程§ 7.2基本方程-fW dxr + V"%d2w叫广 詁义 d2w力Kx曲率扭率d2wa?d2wKy=~W_ d2wKxy~~^d^§7.2基本方程薄板平彳鼾方程^SxiZXOFs.dxzX 丿iz///dxMxy +卑攵dxoxd4wa/z心+夢⑪dMy+ 2伞+dx2dyQy4DV2V2w = q该式为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。

§7.3薄板横截面上的内力如右图，在该横截面的每单位宽度 上，应力分量合成为弯矩：I Mx =Jjzo;dz = —^^（罗S2w12（i-//2）axr+与上式类似可以得到：~2Et3E匚“"OX? “aMyT (龚 + “’ dyax2注~(1-“严Qy =_D —V2W oxQ =-D —V2Wy 6yMxy=Mdxdy2S2w+ " 652w+烽Sy(9-5)§7.3薄板横截面上的内力利用各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力和荷载之间的关系得:bx12MX—zty jT=rxyyxrxz_6Q_ ,3t12Mxyz(9-6)t4yz 「4 丿b = -2q(] _ —)2 (1 + —)2 t t§7.4薄板边界条件满足基本方程和给定的边界条件基本方程Z)V2V2w二q为四阶偏微分方程矩形薄板，每个边界必须给岀两个边界条 件§ 7.4边界条件薄板弯曲问题的典型边界条件1・几何边界条件在边界上给定边界挠度W和边界切线 方向转角字 ；固定边界：§ 7.4边界条件薄板弯曲问题的典型边界条件2.混合边界条件边界同时给出广义 ：；力和广义位移(W)尸° =My)"0简支边界。