第八章平面向量.docx
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第八章平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示书中用黑体表示向量，如a.Ial表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律O定蜃1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则加法和减法都满足交换律和结合律定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数％≠0,使得a=劝.f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数X,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与X轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做C坐标定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为则a,b的数量积记作a∙b=∣a∣ib∣cos^=∣a∣1b∣cos
叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)定理4平面向量的坐标运算：若a=(xι,y∣),b=(x2,y2),1-a+b=(xι+X2,y1+y2),a-b=(x∣-x2,yi-y2)»2.λa=(λx∣,λyι),a∙(b÷c)=a∙b+a♦c,3.a ∙ b=XiX2+y1y2, cos(a, b)≡/ 、 2 I~2√xf + y, ∙√xi+y2(a,b≠O),4.a∕∕b
y=y+攵定理5对于任意向量a=(x∣,y∣),b=(x2,y2),∣a∙b∣≤∣a∣β∣b∣>并且∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣.［证明］因为IaF∙∣b∣2-∣a∙bp=(R+Jj2)(k+y?)-(xix2+y∣y2)2=(x∣y2-x2y∣)2>O,又Ia∙b∣≥0,∣a∣∙∣b∣≥0,所以∣a∣∙∣b∣2∣a∙b∣.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得∣a+b∣Wa∣+∣b∣∙注：本定理的两个结论均可推广O1)对n维向量,a=(x∣,X2,∙∙∙,X11).b=(y∣,y2,…,y11)>同样有Ia∙b∣≤∣a∣∙∣b∣,化简即为柯西不等式：(X；÷Xi+♦•∙+•¥：Xyj2+>j2■+ Fy：)≥(x1y1+x2y2+∙∙∙+xnyn)2≥O,又Ia∙b∣≥0,∣a∣∙∣b∣≥0,所以IaI♦∣b∣≥∣a∙b∣.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣∙注：本定理的两个结论均可推广I)对n维向量，a=(xι,X2,∙∙∙,Xn),b=(yι,y‰∙∙∙,y11),同样有Ia∙b∣≤∣a∣∙∣b∣,化简即为柯西不等式：(X；+×2+…+X；)(y；÷y∖ Hy；)≥(X∣y∣+X2y2+…+XnynR2)对于任意n个向量,a∣,a2,∙∙∙,an>Wla∣,a2,∙∙∙,an∣≤∣a∣∣+∣a2∣+∙∙∙+∣an∣0二、方向与例题I.向量定义和运算法则的运用。
例1设O是正n边形A∣A2…An的中心，求证：QA+QA2+∙∙∙+QA.=O.— , , , —— 2TT【证明】记S=OAl+OA1+∙∙∙+0A”,若So则将正n边形绕中心o旋转一后与n原正n边形重合，所以3不变，这不可能，所以3=5.例2给定△ABC,求证：G是^ABC重心的充要条件是GA+GB+GC=0.【证明】必要性如图所示，设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则AG=2GD=GP.又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGqPC所以无=而.所以以+而+3?=3?+而+而=5.充分性若GA+GB+GC=O,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则GA=PG.因为GE+记+正=5,则无=正，所以GB[CP,所以AG平分BC同理BG平分CA所以G为重心例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2o【证明】如图所示，结结BQ,QDo因为丽+而=丽丽+而=双，所以BQ+DQ=(BP+PQ)2+(DP+PQ)2■*21—»2 *2 •■ —•—=BP+DP+2PQ+2BP∙PQ+2DPPQ—»2——*2—2 —————»2—2 —2=BP+DP+2PQ+2(BP+DP)PQ=BP+DP+2PQ.①又因为B。
QC-BC,BQ+QA—BAQN+QC—O,—2——∙2—•2 »2 •同理BA+BC=QA+QC+23Q,②CD+DA=QA+QC+2玩】③・2 ’—•2 ' •2 ・•2 .2 ―2由①，②，③可得84+BC+CD=4QA+2(βQ+QD)—2 >2 -2 ^—2 -2 —2=AC+2(28P+2PQ)=AC+BD+4PQ2.证利用定理2证明共线例4AABC外心为0,垂心为H,重心为G求证：O,G,H为共线，且OG：GH=I:2 . . .2 .(证明】首先OG=OA+AG=OA+—AM3=OA+-(AB+AC)=OA+-(2a∂+OB+OC)3 3=^(OA+OB+OC).其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE±BC.又AHJ_BC,所以AH//CE又EAj_AB,CHlAB,所以AHCE为平行四边形所以AH=EC,所以而=而+而=苏+反=苏+丽+历=苏+无+历，所以丽二3历，所以5G与而共线，所以O,G,H共线所以OG：GH=1：2o3 .利用数量积证明垂直例5给定非零向量a,b.求证：∣a+b∣=∣a-b∣的充要条件是a±b.【证明】∣a+b∣=∣a-b∣U>(a+b)2=(a-b)2
O,AB=AC,D为AB中点，E为△ACD重心求证：OEJ_CD证明】设5=α,5⅛="历=c,则OD=^(a+b),-TT：1 1. 1 1 1OE=—α+c+-(α+Z?)=-c+-a+-b.31 2J3 2 6又CD=-(a+b)-c,所以无.丽=(工〃(2 3 6八2 2r212 3 3 3=-a∙(b-c).(因为IaF=IbF=ICF=IoHF)3又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线所以a∙(b∙c)=O,所以OEj_CD4 .向量的坐标运算例7已知四边形ABCD是正方形，BE∕∕AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AEo【证明】如图所示，以CD所在的直线为X轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1,则人工坐标分别为(-1,1)和(0,1),设£点的坐标为(相丫),则靛=8.-1),衣=(L-1),因为前〃恁，所以-x-(y-l)=O.又因为Iwl=I就＜1,所以χ2+y2=2.由①，②解得X =l + √3丁'、l-√32所以衣=(过史士2^[∣族∣2=4+2√i2 2∖ Z—∙ ∙ , 1—λ∕3 ]+λ∕s设F(x',1),则CF=(x',l)-由CTr和CE共线得一x, =0.所以x'=—(2+ ,即F(―2—所以IA用2=4+2/，所以AF=AEo三、基础训练题1 .以下命题中正确的是.①a=b的充要条件是Ial=Ib且a∕∕b:②(a∙b)∙c=(a∙c)∙b；③若a∙b=a∙c.则b=c：④若a.b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若AB=CD=b»且Ab共线，则A,B,C,D共线；⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为2 .已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:①前+CD+EC:②2前+反；③FE+ED；④2ED—FA与AC»相等的有.3 .已知a=y-x,b=2x-y,∣a∣=∣b∣=l,a∙b=0»则∣x∣+∣y∣=.4 .设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若ka+tbI=Ita-Sb则a和b的夹角为.5 .已知a,b不共线，MN=a+kb,MP=Ia+b,则“kl-l=O”是“M,N,P共线”的条件.6 .在^ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且BN=2NA,BM与CN交于D,若80=/l,则λ=.7 .已知班而不共线，点C分而所成的比为2,OC=λδλ+μδB,则见一〃=.8 .已知。
4=a,Q8=b,a.b=∣a-b∣=2,当△AOB面积最大时，a与b的夹角为.9 .把函数y=2χ2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2χ2的图象，C=(L-1),若L〃，c・b=4,则b的坐标为.π10 .将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转一得到向量b,则b的坐标为.411 .在RsBAC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问PJBC的夹角取何值时而•诙的值最大？并求出这个最大值12 .在四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,如果2・5=皿「(1=(1・2,试判断四边形ABCD的形状四、高考水平训练题13 .点0是平面上一定点，A,B,C是此平面上不共线的三个点，动点P满足—— (ABAC\ \OP=0A+A-=Γ-+-=-,λ∈∣0,+∞).则点P的轨迹一定通过4ABC的 心l∣A8∣∖AC∖)2 .在ZiABC中，AB=a,BC=b,且a∙b
