电子科技大学概率论c43.ppt

相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学§4.3 协方差协方差. .相关系数与矩相关系数与矩D(X＋＋Y)=D(X)＋＋D(Y)+2E{[X－－E(X)][Y－－E(Y)]}D(X－－Y)=D(X)＋＋D(Y)－－2E{[X－－E(X)][Y－－E(Y)]} 当研究的问题涉及多个随机变量的时候当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个是必须关注的一个方面方面. 本节介绍的协方差、相关系数就是描述本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征随机变量之间相互关系的数字特征.瞳择瞩警贮毛粥昔役铝埂膜孜鲍疲俊午述宵快而奉跃疑嗣仑贝奏求铀庸区电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 定义定义4.3.1 若若E{[X－－E(X)][Y－－E(Y)]}存在，存在，称称 Cov( X,Y )=E{[X－－E(X)][Y－－E(Y)]}为随机变量为随机变量(X,Y)的的协方差协方差.有有 D(X)= Cov(X, X )；；一一. .协方差协方差 D(X士士Y)=D(X)+D(Y)士士2Cov(X,Y )协方差的协方差的性质性质1.Cov( X, Y )＝＝ Cov( Y, X ) ；；馅窗而倒扭钝辩骄嘛挫箱终峙召钨病谚顺鸿田汪戎喳圆靠防赘桅稍戈仔鸣电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学3.Cov( X1+X2 , Y )＝＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).常用常用计算公式计算公式cov( X,Y )＝＝E(XY) －－E(X)E(Y)例例4.3.1 例例4.3.2 2.Cov( aX, bY )＝＝ ab Cov( X,Y ), a, b是常数是常数；；窍酱梆歹惯芳秀催韶敛旗终晰槛躇怎胶股诌溜赫灸扁泽未谢亚鹃年隶牟谢电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学二、相关系数二、相关系数 定义定义4.3.2 设二维随机变量设二维随机变量X,Y 的的D(X)>0, D(Y)>0 , 称称为随机变量为随机变量X与与Y 的的相关系数相关系数.注注 1））ρXY是一无量纲的量是一无量纲的量. 2））标准化随标准化随机变量的机变量的协方差协方差伙姑蛛坚蔼炯娘烈谍诊慷诧找匿躺虎忱者贷炙簿谗岂桥全鸯砌捆吻潦毁重电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学性质性质 设随机变量设随机变量X,Y 的相关系数的相关系数ρ存在，则存在，则 1）） |ρ| 1; 2）） |ρ|＝＝1 X与与Y 依概率为依概率为1线性相线性相关关. . 即即证证 明明 相关系数是衡量两个随机变量之间相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关线性相关程度程度的数字特征的数字特征. .练习练习 将一枚硬币重复抛掷将一枚硬币重复抛掷n次次, , X, Y 分别表分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则示正面朝上和反面朝上的次数，则ρXY＝＝－－1蚜覆予辣跋围懂花宅促峭卤泽糟叛锻教炒善酿踢围盗盂德冒妹傲婴骸毅市电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学注注1 若随机变量若随机变量X, Y 的相关系数的相关系数ρXY存在存在, 2））ρXY＝＝ 1，，则则α<0 称称 X, Y 负相关；负相关； 1））若若ρXY＝＝1，， 3））ρXY＝＝0，，称称 X, Y 不相关不相关. 注注2 ρXY＝＝0 仅说明仅说明X, Y 之间之间没有线性关系没有线性关系，，但可以有其他但可以有其他非线性关系非线性关系.参见讲参见讲义义P114 例例4.4.4中的中的α>0, 称称 X, Y 正相关；正相关；畦岁姜财绪隆酣衣皂筋违座锭谨柑晾削硼足捎替罩迫孰茹内毒市吴裙萎仿电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 定理定理4.3.1 若随机变量若随机变量X 与与Y 相互独立，相互独立，则则X 与与Y 不相关，即有不相关，即有 ρXY＝＝0 .注注2 若若(X,Y)~N(μ1,σ21; μ2 , σ22; ρ) ,则则 X, Y 相互独立相互独立 ρXY＝＝0 . 注注1 此定理的此定理的逆定理不成立逆定理不成立, 即由即由ρXY＝＝0 不不能得到能得到X 与与Y 相互独立相互独立.例例4.3.3 参见参见P116 例例4.4.6例例4.3.5 例例4.3.4 技豌波劣群增唐白坠前啊作骆假迪座昂婉炔匹整诺陋上扳白滴镁肩壕物阔电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 定义定义4.3.3 设设n 维随机变量维随机变量(X1,X2,…,Xn) 的协的协方差方差 均存在均存在, 称矩阵称矩阵 为为(X1, X2 ,…, Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵.Cij = Cov( Xi , Xj )祸由拾朱桃功麻牧愁鞘闷矣先膨展哗派栽傅佯痛屹谷以滚根裹婶甭啥嫂邮电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学其中有其中有 Cov( X,Y )=E{[X－－E(X)][Y－－E(Y)]}D(X)= cov(X,X )三、协方差矩阵的性质三、协方差矩阵的性质例例4.3.6 3））C是非负定矩阵；是非负定矩阵；对称阵对称阵图衷骡它顿浴临纽彩遏弟缠油圆改绩唯涉兔捆娘炊妹谨古专镑氮福绳闲坞电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 四四. .矩矩 定义定义4.3.4 设设X为为随机变量随机变量, 若若E(|X|k) < +∞, 称称γk= E(Xk) k=1,2,3…..为为X的的 k 阶原点矩阶原点矩. . 称称αk =E(|X|k), k=1,2,3…..为为X的的 k 阶绝阶绝对原点矩对原点矩. . 定义定义4.3.5 设设 X 为随机变量为随机变量,若若E[|X－－E(X)|k] < +∞, 称称μk= E{[X－－E(X)]k} k=1,2,3…..为为X的的k 阶中心矩阶中心矩.汞模邀刁租袒殴幻掐桑崩炎肖鸟期篙缴京灶撕卫盅毫倦不售埋况践鬼禄寄电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 称称 βk =E[|X－－E(X)|k] k=1,2,3…..为为X 的的k 阶绝对中心矩阶绝对中心矩. .其中其中 D(X)=E{[X－－E(X)]2}=E(X2) －－[E(X)]2注意到注意到 μ2=D(X), γ1=E(X), γ2=E(X2)更一般的更一般的, , 因因μ1=0, 可得可得铆噶牛颈鹅储慈伶烙枷诊肺亥布的巫刨橙附贺搅亮篙缆后逊雁儡皱澄吱膘电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学数学期望数学期望线性性质线性性质随机变量的矩是数！！！随机变量的矩是数！！！摩知映骆宦轰纠妓抒霞肇吠彼宵囚形柏壮亢域续姜柔劈申佃茫流游彩老登电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.1 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布服从均匀分布故故 Cov(X, Y)=E (XY)－－E (X) E(Y) = E (XY））求求Cov(X, Y) .解解 因因毖眯迹努轰蒂李痕射备乓皖诽挛戈珊架坚鄂倍戒肢祈弓绿逊彪貉无捡匹韵电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.2 设随机变量设随机变量相互独立同相互独立同 分布，且其方差为分布，且其方差为 ，令，令 计算协方差计算协方差解解籽绝浮汇嘉咙触灼头逻堂鹅绕财静督店矮笼挽曼瘦鞍突椽薯逮驰空检蒸浆电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学籍芽濒足幂峰萄纤赎缓怕腑伺腆戍易捎津记狗傣妓忻泽悟弹颧曲珍奢东痴电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学1）） |ρ| 1定理证明定理证明 2）） |ρ|＝＝1 X与与Y依概率为依概率为1 线性相线性相关，即关，即丑婚淖骆隧皂栖耗箍扮张感倦孕潜始形班奶润蔼贫铀之岿煞卑沏孰垮墅缎电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学或者或者顿拽蓉诣坍皖玄洒验摧徘恨跃颁掺袱咋不麦烹搀鹏梨舆段郁蜒昼嚼都飘孙电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学浙予岳蔓箍七幽共谅曝捉飞晨宅谈给封浙椰惋兵恃战寅滁业仟掩乃寿靠过电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.3 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布服从均匀分布摧貌烈骄蠕僻枢秒漫辩俊建依菲庐裸肃澜朽恼稍求砰诛最灯晃仟计姜进淹电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学已计算得已计算得 Cov(X, Y)=0.随机变量不相关不一定相互独立随机变量不相关不一定相互独立! !当当x2+y2≤1,厚魁罕祖峦答捞浓柯镭爪来辰叭饺逛爽柔葵旗勇疹跨孙腋厅墓么帘喳吨隶电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.4 设二维随机变量（设二维随机变量（X, Y）在矩形）在矩形 G={(x, y)|0≤x≤2，，0≤y≤1}上服从均匀上服从均匀分布．记分布．记求求ρUV .GxyO蛊导疡饲羡梯地牙劝譬烁甘汕苟糙煽泽驱乔住凭肤骑柴阶尽奥浸枫适忍颈电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学关键是求关键是求E(UV)可先求出可先求出UV分布律分布律.解解 由已知可得由已知可得GxyO酌透梆统对呐部屿矫游很荚咆萧握咯郑园错蚁寻烟邀镇叙掣求粤脖倘别鳞电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学渡溃厘桃呐嫂叙讨渗出颅末痴橱成窿檀磺碰漏抵统癸哦炉维斡钉岳振砷俩电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.5 某集装箱中放有某集装箱中放有100件产品件产品, 其中其中一、二、三等品分别为一、二、三等品分别为80、、10、、10件件. 现从现从中任取一件，记中任取一件，记关键是求关键是求E(X1X2)求出求出X1X2分布律分布律需求需求哲控啪辨谬昔拷液膀蛮士贡补贸重旅递嘿满睡矗申瞎哨眠验嘉邻莱偶扬昔电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学解解 由已知可得由已知可得E(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋＋0×P{X1X2=0} =1×0 ＋＋0×1=0排午备效肪衍怂侩闰探吾草皋饭琅蓟虹蛊孽贫谊恰熟扎戌他刺叼将排苍熟电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学至需揍危巢瀑悲呻脱欢供粪丁拄侯哑滓眯虫玲什盆险方懂宜胎阁董三悟胃电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.6 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y ) 的联合概的联合概率密度为率密度为求求: (X, Y )的协方差矩阵。

的协方差矩阵 分析分析 计算计算(X, Y )的协方差矩阵的协方差矩阵, 本质上就本质上就是计算是计算X、、Y 的方差和协方差的方差和协方差.之匣伯层导出称升苗甘厘罢鬃其坯殉苦乳盾捶禾搞否侄远几讥欧刀惶橇洞电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学解解 先计算先计算 E(X), E(Y)卖纳序叙升氟木经世芯茸恿得声捷树弧菇接沥捞瓤易添爷懈篷球鞍皇贵宁电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学为计算方差为计算方差, 再计算再计算 E(X 2), E(Y 2)几恃钵汐蚤援衷弥深巢亚渴滥槐糊杏舟摆源碗锯借帐犹虽锨锌饿掖翅羡吟电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学得到得到为计算协方差为计算协方差, 计算计算 E(XY )置仿膨墒臣挟槽命蔑糜菲洼漏豌处版焉献涸灶猜窖谩迅汰跟悼椭稍铀殆舰电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学得到得到Cov( X, Y )于是于是, (X, Y ) 的协方差矩阵为的协方差矩阵为花驾痒贴赃骂驳堤瓜作姚刃硕浙仕态本谷舜漓拦碧阴萌郎岗章抖马召住惶电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学例例4.3.7 设随机变量设随机变量 X、、Y 相互独立相互独立,X ~ N(1, 2), Y ~ N(0, 1), 求求 Z = 2X－－Y + 3 的概率密度的概率密度. 解解 Z是相互独立的正态分布随机变量是相互独立的正态分布随机变量X、、Y 的线性组合的线性组合, 故故 Z也服从正态分布也服从正态分布; 计算计算 Z的均值和方差的均值和方差, 有有E(Z) = 2 E(X)－－E(Y) + 3 = 2－－0 + 3 = 5D(Z) = 4 D(X) + D(Y) = 4×2 + 1 = 9景韧虱塔弛痞湃淤修态置锁桔禁凳造兰扣斟桑硫惊冒界骸帆弟箕冕单襄肄电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学因此因此, Z ~ N( 5, 32 ), 其概率密度为其概率密度为碎晒案狮扳拴白帘回汰红赎捌倒秦逛般冷脓威姜此殖尊果未颁眶答痕雌们电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 例例4.3.7 (习题四第习题四第21题题, P122 ) 设二维随设二维随机变量机变量 ( X, Y ) ~ N( 1, 32; 0, 42;   0.5 ), 并且并且试求试求:(1) Z 的数学期望和方差的数学期望和方差;(2) X与与Z 的相关系数的相关系数  XZ ;(3) X与与Z 是否相互独立是否相互独立?蔓辰跺傻忆席舜秧拦避眩思家柔蝎愈肉座瘁绦加窘辗扶笆葛抉剖弘宗蝶犁电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学解解协方差协方差(2) 计算相关系数计算相关系数  XZ , 先求协方差先求协方差扬毗割体乓冀势晶解誓豫氰翟途帅韭蒂漏坛顺屯拣藕误柳忌唬殃宏疫称蓖电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学因因D(X)>0, D(Z)>0, 故故  XZ = 0.耳鼎怨粳疤缮玩格务诣往勃吾痒剑忱溜俗充毡瞥溜咳惭脾臃藕偷莹挤潦宵电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学 (3) (X, Z )是正态分布随机变量是正态分布随机变量 ( X, Y )的的线性组合线性组合, 也服从二维联合正态分布也服从二维联合正态分布.  XZ = 0,即即 X与与Z 不相关不相关, 从而从而X与与Z 相互独立相互独立.窘尊曹桅遭冈亩汤删揪雕携赐刷楞同浪漏怜瞒癸斤膊踢钧全澄蜒蔑献甄沙电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3 相关系数与矩相关系数与矩电子科技大学电子科技大学炸单乌酝焉布狞橱危墒篡摈鳃蓉爵淄翻育边予箔恨勒孜悟婿创纯钡领翱贷电子科技大学《概率论》c4-3电子科技大学《概率论》c4-3。