三角形全章衔接讲义资料.doc

与三角形有关的线段知识点精讲知识点一.三角形的基本概念:⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三 角形.三角形具有稳定性.⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角.在同一个三角形内，大边对大角.⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外 角.⑷三角形的分类：直角三角形：三角形中有一个角是直角三角形（按角分） 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角斜三角形2钝角三角形：三角形中有一个角是钝角不等边三角形：三边都不相等的三角形三角形（按边分） 底边和腰不相等的等腰三角形 ：有两条边相等的三角形' '等腰三角形*等边三角形（正三角形）：有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角 （直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形 ）.经典例题：【例1】如图1的三角形记作 它的三条边是 三个顶点分别是 三个内角是 顶点A、B、C所对的边分别是 用小写字母分别表示HrAb【例2】三角形按边分类可分为 角形， 角形；等腰三角形分为底与腰 勺三角形和底与腰 的三角形.【例3】如图2所示，以AB为一边的三角形有（ ）A. 3个B.4个 C.5个 D.6个【例4】如图7-1-26，在图1中，互不重叠的三角形共有 4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有 10个…，则在第n个图形中，互不重叠的图1 图2 图3图 7-1-26巩固练习：【练1】如右图，有_个三角形。

以E为顶点的三角形有 以AD为边的三角形有 练2】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第 6个图中共有三角形 个.AAA知识点二：三角形三边关系① 三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边.② 三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边•即 a、b、c三条线段可组成三角形：=b - c ：：： a ：：： b亠c ：=两条较小的线段之和大于最大的线段.注意：在应用三边关系定理及推论时， 可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形.【例1】 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）A.3 , 8, 4B.4 , 9 , 6C.15 , 20 , 8D.9 , 15 , 8【例2】 下列不能构成三角形三边长的数组是 （ ）•A •-2、-3、-4 B •丄、1、1C a2 1、2a2 1、3a2 12343 312、133【练1】下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）52A • 1 cm , 2 cm , 5 cmB • 4 cm , 5 cm , 9 cmC • 5 cm， 8 cm , 15 cmD • 6 cm , 8 cm , 9 cm【练2】•已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（【例3】 已知三角形的两边为8、10，求第三边的范围，求周长的范围.【例4】两根木棒的长分别是 7 cm和10 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是 acm，则a的取值范围是 【练3】已知三角形两边长为 2cm和7cm，求它的周长的取值范围.【练4】有三条线段，其中两条线段的长为 3和5，第三条线段的长为 x，若这三条线段不能构成三角形，则 x的取值范围是 •【例5】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例.已知ABC的三边分别为x , y , z •(1) 以x, y, z为三边的三角形一定存在.111(2) 以^(x y), ^(y z), (z x)为三边的三角形一定存在.1 【例6】下列长度的线段能否组成三角形： 3a、4a、2a 1(a -)；5【练5】下列线段能组成三角形的是 ()2 112A. a 1 , a 2 , a 3 B. a , a , a 1 C. a , a , a 1 D.—,——,——a 2a 3a【练6】已知 ABC有两边长为a、b，其中a :: b，则其周长I 一定满足( ).A. 2b ■ l ：：2(a b) B. 2a ：：l ：：2b C. a ：： l ：： a b D. a ：： l ：： 2a b【例7】a、b、c为三角形的三边长，化简 a-b-c ' b-c-a ■ c-a-b，若此三角形周长为11,求上面式子的值.【例8】如果△ ABC是等腰三角形，试问：⑴若周长是18，一边长是8，则另两边长是 ；⑵若周长是18，一边长是4，则另两边长是 。

练7】已知三角形中两边长为 2和7，（1 ）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 【例9】已知：如图1，△ ABC中，D是AB上除顶点外的一点求证AB+AC > DB+DC（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为 AB+BC > PB+PC变式一：如图2，△ ABC中，点P ABC内任一点求证:变式一：1如图 2，点 P ABC 内任一点，求证： PA+PB+PC > (AB+BC+AC);2变式三：如图3 , D、E是厶ABC内的两点，求证： AB+AC > BD+DE+EC.【练8】如图，在 ABC中取一点P，使CP =CB，求证：AB . AP -知识点三：与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶 点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点， 这个点叫做三角形的内心， 而且它一定在三角形内部.② 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.注：每个三角形都有三条中线， 且相交于一点，这个点叫做三角形的中心， 而且它一定在三角形内部.③ 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点， 这个点叫做三角形的垂心.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合.反之也成立.画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线， 连接顶点与垂足的线段就是该 边的高.【例10】人。

是厶ABC的高，可表示为 , AE是厶ABC的角平分线，可表示为 ,BF是厶ABC的中线，可表示为 .1【例11】如图3, AD是厶ABC的角平分线，则/ = / = / ; E在AC2上，且 AE=CE＞则BE是厶ABC的 ; CF是厶ABC的高，则/ = / =90 0,CF AB.【练9】如图4,AD是厶ABC的中线,AE是厶ABC的角平分线，若BD=2cm则BC= ; 若 / BAC=6（0,则/ CAE= .【练10】如图5,以AD为高的三角形共有 .C图3图5【例12】如图所示，在△ ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SaABC=4cm 2,求abe.【练11】如图，在厶ABC中,已知点D, E, F分别为边BC, AD CE的中点，且S ：ABC = 4 cm2，则S阴影等于（）221 2A. 2 cm B. 1cm C.cm2D2cm4知识点四.三角形的稳定性埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三 角形1.三角形是具有 ■勺图形，而四边形没有 .2•自行车用脚架撑放比较稳定的原因是 .3.下列把四边形的不稳定性合理地应用到生产实际中的例子有（ ）（1 ）活动挂架 （2）放缩尺 （3）屋顶钢架 （4 ）能够推拢和拉开的铁拉门（5 ）自行车的车架（6 ）大桥钢架A.1 B.2 C.3 D.4【例13】如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF固定矩形门框 ABCD使其不变形，这种做法的根据是（ ）A.两点之间线段最短 B •矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角 D •三角形的稳定性FT厂T [H1］】hi：【练13】为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道 理是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形具有稳定性D. 两直线平行，内错角相等与三角形有关的角知识点精讲知识点一.三角形内角和定理:三角形三个内角和等于 180 .三角形内角和180的几种证明方法:①添加平行线法：②帕斯卡（法国数学家）折纸法:【例1】已知在 ABC中，.C =80 , A-. B =20，则.B的度数是（A. 60 B. 30 C. 20 D . 40【例2】如下图，求.C • . D的度数.E。

一 3【例3】如图，求 ZA ZB .^C ZD ZE的度数.EDF【例4】 如图所示，已知.A=70 , B=40 , C =20，求£BOC度数.B C【例5】C如图所示，已知.EGF =/BEG • . CFG，试探索.A • . B • . C • . D的度数.【例 6】 如下图，已知.:-133，.- -83，求.A • . B • . C • . D = 【习题1】如图，求.A：B「C「D：E = D【习题2】如下图，求.的度数.【习题3】如下图，求A .B .C .Dh知识点二：三角形的外角三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角,因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是 相等的.三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和 （并非6个外角之和）.三角形的外角和等于 360 .三角形内角和定理的三个推论：推论1:直角三角形的两个锐角互余.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【例7】 如 下图，厶ABC中，./A =80 ,剪去ZA后，得到四边形BCED ,则 12= .【例8】 如图所示，将 △ ABC沿着DE翻折，若.1 • . 2 =80，则.B = AC【例9】如图在三角形纸片 ABC中，.A =65 , B =75，将纸片的一角折叠，使点 C落 在△ ABC内，若• 1 =20，则.2为多。