向量代数与空间解析几何(7)课件.ppt

四、向量代数与空间解析几何四、向量代数与空间解析几何•（一）向量代数（一）向量代数1．知识范围．知识范围（（1）向量的概念）向量的概念•向量的定义向量的定义 向量的模向量的模 单位向量单位向量 向量在坐标轴上的投影向量在坐标轴上的投影 向向量的坐标表示法量的坐标表示法 向量的方向余弦向量的方向余弦（（2）向量的线性运算）向量的线性运算•向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 向量的数乘向量的数乘（（3）向量的数量积）向量的数量积二向量的夹角二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件二向量垂直的充分必要条件（（4）二向量的向量积）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件二向量平行的充分必要条件2．要求．要求（（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法3）掌握二向量平行、垂直的件掌握二向量平行、垂直的件 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：1、向量的概念、向量的概念或或或或或或[1] 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（（1 1）交换律：）交换律：（（2 2）结合律：）结合律：（（3））例例1 1 化简化简解解例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等, 结论得证结论得证.[3] 向量与数的乘法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（（1 1）结合律：）结合律：（（2 2）分配律：）分配律：按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 3. 3. 向量的坐标向量的坐标1. 空间直角坐标系 M(x,y,z)ozxyzxy x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 点M和向量OM的坐标为（x,y,z)和{x,y,z}o空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为空间两点间的距离空间两点间的距离解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为[1] 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理证证于是于是投影定理投影定理定理定理1 1[2] 向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2  OM1= (x2 i+ y2 j + z2 k)  (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2  x1) i + (y2  y1) j + (z2  z1) k (2) 即 a = {x2  x1 , y2  y1 , z2  z1} 为向量a的坐标表示式记 ax = x2  x1 , ay = y2  y1 , az = z2  z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.zxyM1M2ao向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标解解设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：(3) 运算性质设 a ={ax , ay , az}, b ={bx , by , bz}, 且为常数(1) a  b = {ax  bx , ay  by , az  bz }(2)  a = {ax , ay , az}非零向量非零向量 的的方向角方向角：：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量长的坐标表示式向量长的坐标表示式当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)设ao是与a同向的单位向量ao= {cos , cos , cos }(7)例1 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = {1, 1,  }|M1 M2 | =例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.解: AB = {3, 1, 2}|AB|解解解解实例实例定义定义3、两向量的数量积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（（1 1）交换律）交换律：：（（2 2）分配律）分配律：：（（3 3）若）若 为数为数：：设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式解解证证实例实例4、两向量的向量积定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：//向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（（1））（（2））分配律：分配律：（（3））若若 为数：为数：设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出由上式可推出（03二12）由向量a={2,2,1},b={4,5,3}为邻边的平等四边形的面积为________二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由题设条件得由题设条件得解得解得解解解解三角形三角形ABC的面积为的面积为例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量。

边的高线向量解解DC////////////////CAB一、已知一、已知 ABC的顶点为的顶点为A(3,2,-1), B(5,-4,7), C(-1,1,2), 求从求从C所引的中线长度所引的中线长度计算计算-1032。