高等数学竞赛讲义第二章一元微分学.docx

高等数学竞赛讲义第二章一元微分学 其次局部 一元函数微分学 一、导数与微分? 内容要点一、导数与微分概念 二、导数与微分计算? 典型例题一、用导数定义求导数例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim〔2005〕f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性例1 设函数?x2,x?1f(x)??ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1 由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1再由x?1处可导性， f??(1)?lim?x?1x?f(1)x?12存在f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)x?1存在且f??(1)?f??(1)依据洛必达法那么f??(1)?limx?12x1??2f??(1)?lim?x?1a1 a?2 ?a，∴于是b?1?a??1?x2,x?1,?f(x)??1,x?1,?2x?1,x?1,??2x,x?1,f?(x)???2,x?1,三、运用各种运算法那么求导数或微分例1 设y?xx(x?0)，求例2 设y?y(x)由方程x例3 设??x???y??yxdydxx?y所确定，求dydx??tt2eu2sinudu2t0 求eln(1?u)duudxdy? 例4 设?x?cos(t2)2dy?2 求2 〔2007〕 t?2?udxsinudu?y??0e?? 例5. 设f(x)连续，且当x??1时，f(x)[?f(t)dt?1]?0xxex2，求2(1?x)f(x)。

2002)2 ? 例6. 设f(x)连续，?(x)??x0dv?f(u?v?x)du，求??(x)2022)0x? 例7. 设f(x)连续，且f(x)?x??x0ext22f(t)dt，求f?(1)?3f(1)2022)四、求切线方程和法线方程例1 确定两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()n???arctanx0e?t2dt在点〔0，0〕处的切线一样，写出此切线方2n解：由确定条件可知f(0)?0，f?(0)?故所求切线方程为y?xe?(arctanx)21?x2x?0?12f()?f(0)2nlimnf()?lim2??2f?(0)?2n??n??2nn? 例2 设f(x)为周期是5的连续函数，在x?0邻域内，恒有f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)其中lim?(x)xx?0?0，f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点〔6,f(6)〕处的切线方程 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为y?f(1)?f?(1)(x?6) 所以关键是求出f(1)和f?(1) 由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1) x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0再由条件可知lim令sinx?t,limf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinxf(1?t)?3f(1?t)t?lim(x?08xsinxx?0??(x)sinx)?8t?0?8，又∵f(1)?0∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]tt?0?3limf(1?t)?f(1)(?t)t?0 =f?(1)?3f?(1)?4f?(1) 3 那么4f?(1)?8 f?(1)? 2所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0·?x?lnt?? 例3 求曲线?y?2t????t1e?(ts)2在t=1处的切线方程 〔2022〕ds五、高阶导数 ? 例1 设f? 例2 设f?x??arctan?x??31?x1?x，求fn?0? 〔2004〕 ?0? 〔2022〕xarcsinx，求f22022? 例3 设f(x)?x3sinx，求ff(y)(2022)(0)〔2022〕? 例4 设y?y(x)由xedydx22y?eln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，那么?_______________〔2022〕 二、微分中值定理这局部有关考题主要是证明题，技巧性比拟高。

内容要点一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒定理? 典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0 证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故 4 m?13[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得13f(c)?〔c，3〕[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?01例2 设f(x)在[0，1]上连续，〔0，1〕内可导，且3?2f(x)dx?f(0)3求证：存在??(0,1)使f'(?)?0证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得31232?f(x)dx?f(c)(1?23)得到 f(c)?3?2f(x)dx?f(0)31对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，〔三个条件都满意〕 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?01例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对随意k?1，有f(1)?k?kxe1?xf(x)dx，0求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??1k?1)f(?)1证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)(1k?0)令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)1这样F(1)?f(1)?k?k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理〔三个条件都满意〕存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)∴ F?(?)??e1??[f?(?)?(1?1?)f(?)]?05 又?e1???0，那么f?(?)?(1?1?)f(?) 罗尔定理的有关证明命题中，如何依据条件和结论构造一个适宜的F(x)是特别关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面供应一些选择。

模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，〔a,b〕内可导，f(a)?f(b)?0那么以下各结论皆成立 〔1〕存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0〔l为实常数〕令F(x)?elxf(x) 〔2〕存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2k?1f(?2)?0〔k为非零常数〕令F(x)?exf(x) 〔3〕存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0〔g(x)为连续函数〕令F(x)?eG(x)f(x)例4 设f(x)在[0,1]上连续，在〔0，1〕内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证：21k 〔1〕存在??(,1)，使f(?)??21〔2〕对随意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1证明：〔1〕令?(x)?f(x)?x，明显它在[0, 1]上连续，又111?(1)??1?0,?()??0，依据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??222〔2〕令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满意罗尔定理的条件，故存在??(0,?)，使F?(?)?0，即e????f???????f???????1??0从而 f?(?)??[f?(?)??] 1〔注：在例4〔2〕的证明中，相当于模型Ⅰ中〔1〕的情形，其中l取为??，f(x)取为?(x)?f(x)?x〕模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，〔a,b〕内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，那么存在??(a,b)，使f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?06 证：令F(x)?f(x)g(x)，那么F(a)?F(b)?0，明显F(x)在[a,b]上满意罗尔定理的条件，那么存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.例5 设f(x)在[0, 1]上连续，〔0, 1〕内可导，f(0)?0，k为正整数。

求证：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?) 证：令g(x)?(x?1)k，a?0,b?1，那么f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在 ??(0,1)使得kk?1f?(?)(??1)?k(??1)f(?)?0故f?(?)(??1)?kf(?)?0 那么?f?(?)?kf(?)?f?(?)例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点 证：反证法：设a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0， 那么令F(x)?f(x)g(x)在[x1,x2]上用罗尔定理 [?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)g(x1)?0,F(x2)?f(x2)g(x2)?0] 〔不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否那么结论已经成立〕那么存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件冲突所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证：〔1〕在〔a,b〕内g(x)?0；f??(?)g??(?)f(?)g(?)7 〔2〕存在??(a,b)，使? 证：〔1〕用反证法，假如存在c?(a,b)使g(c)?0，那么对g(x)分别在[a,c]和[c,b] 上用罗尔定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0冲突。

所以在(a,b)内g(x)?0 〔2〕由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)?。