
小波变换在信号处理中应用.ppt
92页第第1 1页页小波变换在信号处理中的应用小波变换在信号处理中的应用一、从傅里叶变换到小波变换一、从傅里叶变换到小波变换二、连续小波变换二、连续小波变换三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构五、五、 Matlab中的小波分析工具箱中的小波分析工具箱小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2 2页页 小波分析是近小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频年来发展起来的一种新的时频分析方法,我们可以先粗略地区分一下时域分析和分析方法,我们可以先粗略地区分一下时域分析和频域分析频域分析时域分析的基本目标:时域分析的基本目标:- 边缘检测和分割;边缘检测和分割;- 将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析频域分析的基本目标:频域分析的基本目标:区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量一、从傅里叶变换到小波变换一、从傅里叶变换到小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3 3页页一、从傅里叶变换到小波变换一、从傅里叶变换到小波变换((1 1)傅立叶变换的定义)傅立叶变换的定义1. 1. 连续傅立叶变换对连续傅立叶变换对 离散傅立叶变换对离散傅立叶变换对小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4 4页页2. 2. 傅立叶变换的实质傅立叶变换的实质傅里叶变换的实质是:把傅里叶变换的实质是:把f(t)这个波形分解成许多不同频率这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。
这样我们就可以将对原函数的正弦波的叠加和这样我们就可以将对原函数f(t)的研究的研究转化为对其权系数,及傅里叶变换转化为对其权系数,及傅里叶变换F(ω)的研究从傅里叶的研究从傅里叶变换中可以看出,这些标准基是由正弦波及高次谐波组成变换中可以看出,这些标准基是由正弦波及高次谐波组成的,因此它在频域内是局部化的的,因此它在频域内是局部化的小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第5 5页页3. 3. 傅立叶变换的局限性傅立叶变换的局限性 由左图我们看不出任何频域的性质,但从右图中由左图我们看不出任何频域的性质,但从右图中我们可以明显看出该信号的频率成分,也可以明显的我们可以明显看出该信号的频率成分,也可以明显的看出信号的频率特性看出信号的频率特性 虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域和频域观察,但不征联系起来,能分别从信号的时域和频域观察,但不能把两者有机的结合起来能把两者有机的结合起来 在实际信号处理过程中,尤其是对非平稳信号的在实际信号处理过程中,尤其是对非平稳信号的处理中,信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。
处理中,信号在任一时刻附近的频域特征都很重要小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第6 6页页((2)短时傅立叶变换)短时傅立叶变换 基本思想:把非稳态信号看成一系列短时平基本思想:把非稳态信号看成一系列短时平稳信号的叠加,这个过程是通过加时间窗来实现稳信号的叠加,这个过程是通过加时间窗来实现的一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作的一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作为窗函数,通过平移窗函数来实现时间域的局部为窗函数,通过平移窗函数来实现时间域的局部化性质其表达式为:化性质其表达式为:其中其中“**”表示复共轭,表示复共轭,g(t)是有紧支集的函数,是有紧支集的函数,f(t)是被分析的信号,在这个变换中,是被分析的信号,在这个变换中, 起着频起着频限的作用,限的作用,g(t)起着时限的作用随着时间起着时限的作用随着时间 的变的变化,化,g(t)所确定的所确定的“时间窗时间窗”在在t轴上移动,使轴上移动,使f(t)“逐渐逐渐” 进行分析进行分析小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第7 7页页g(t)往往被称之为窗口函数,往往被称之为窗口函数, 大致反映了大致反映了f(t)在在 时刻时刻ω频率处频率处“信号成分信号成分”的相对含量。
这样信号在窗函数上的相对含量这样信号在窗函数上的展开就可以表示为的展开就可以表示为 在这一区域内的在这一区域内的状态,并把这一区域称为窗口,状态,并把这一区域称为窗口, 和和 分别称为窗口的时宽分别称为窗口的时宽和频宽,表示了时频分析中的分辨率,窗宽越小则分辨率和频宽,表示了时频分析中的分辨率,窗宽越小则分辨率就越高很显然就越高很显然 和和 都非常小,以便有更好的时频分析效都非常小,以便有更好的时频分析效果,但果,但 和和 相互制约的相互制约的 ((2)短时傅立叶变换)短时傅立叶变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第8 8页页((3)小波变换)小波变换 小波分析优于傅里叶变换的地方是,它在时域小波分析优于傅里叶变换的地方是,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质和频域同时具有良好的局部化性质 小波变换提出了变化的时间窗当需要精确的小波变换提出了变化的时间窗当需要精确的低频信息时,采用长的时间窗,频率分辨率高,当低频信息时,采用长的时间窗,频率分辨率高,当需要精确的高频信息时,采用短的时间窗,时间分需要精确的高频信息时,采用短的时间窗,时间分辨率高。
辨率高 由此可知,小波变换采用的不是时间由此可知,小波变换采用的不是时间-频率域,频率域,而是时间-尺度域尺度越大,采用越大的时间窗,而是时间-尺度域尺度越大,采用越大的时间窗,尺度越小,采用越短的时间窗,即尺度与频率成反尺度越小,采用越短的时间窗,即尺度与频率成反比小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第9 9页页((3)小波变换)小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1010页页(4) 小波的时间和频率特性小波的时间和频率特性 运用小波基,可以提取信号中的运用小波基,可以提取信号中的“指定时间指定时间”和和“指定频率指定频率”的变化l时间:提取信号中时间:提取信号中“指定时间指定时间”(时间(时间A A或时间或时间B B)的变化顾名)的变化顾名思义,小波在某时间发生的小的波动思义,小波在某时间发生的小的波动l频率:提取信号中时间频率:提取信号中时间A A的比较慢速变化,称较低频率成分;而的比较慢速变化,称较低频率成分;而提取信号中时间提取信号中时间B B的比较快速变化,称较高频率成分的比较快速变化,称较高频率成分。
时间A时间B小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1111页页(5) 小波的小波的3 个特点个特点l小波变换,既具有频率分析的性质,又能表示发生的小波变换,既具有频率分析的性质,又能表示发生的时间有利于分析确定时间发生的现象傅里叶变时间有利于分析确定时间发生的现象傅里叶变换只具有频率分析的性质)换只具有频率分析的性质)l小波变换的多分辨度的变换,有利于各分辨度不同特小波变换的多分辨度的变换,有利于各分辨度不同特征的提取(图象压缩,边缘抽取,噪声过滤等)征的提取(图象压缩,边缘抽取,噪声过滤等)l小波变换比快速小波变换比快速FourierFourier变换还要快一个数量级信变换还要快一个数量级信号长度为号长度为M M时,时, FourierFourier变换(左)和小波变换(右)变换(左)和小波变换(右)计算复杂性分别如下公式:计算复杂性分别如下公式: 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1212页页(6) 小波基表示发生的时间和频率小波基表示发生的时间和频率FourierFourier变换的基(上)小波变换基(中)变换的基(上)小波变换基(中)和时间采样基(下)和时间采样基(下)傅里叶变换傅里叶变换(Fourier)(Fourier)基基小波基小波基时间采样基时间采样基小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1313页页二、连续小波变换二、连续小波变换设函数设函数,如果满足:,如果满足:则称则称为一个基本小波和小波母函数,式中为一个基本小波和小波母函数,式中为函数为函数的傅立叶变换,上式也可称为可容性条件。
的傅立叶变换,上式也可称为可容性条件 1. 1. 连续小波变换连续小波变换令:令:, 称为基本小波或母小波称为基本小波或母小波(Mother Wavelet) 依赖于依赖于生成的连续小波式中生成的连续小波式中为尺度因子,改变连续小波的形状;为尺度因子,改变连续小波的形状;为位移因子,改变连续小波的位移连续小波为位移因子,改变连续小波的位移连续小波在时域空间和频域空间上都具有局部性,其作用等同于在时域空间和频域空间上都具有局部性,其作用等同于短时傅立叶变换中的窗函数短时傅立叶变换中的窗函数 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1414页页二、连续小波变换二、连续小波变换因此函数因此函数f(t)的小波变换为:的小波变换为:尺度因子尺度因子尺度因子尺度因子小波小波小波小波平移参数平移参数平移参数平移参数式中式中为函数为函数的复共轭,由可容性条件得:的复共轭,由可容性条件得:的逆变换为:的逆变换为: 式中:式中: 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1515页页 像像傅傅立立叶叶分分析析一一样样,,小小波波分分析析就就是是把把一一个个信信号号分分解解为为将将母母小小波波经经过过缩缩放放和和平平移移之之后后的的一一系系列列小小波波,,因因此此小小波波是是小小波波变变换换的的基基函函数数。
小小波波变变换换可可以以理理解解为为用用经经过过缩缩放放和和平平移移的的一一系系列列小小波波函函数数代代替替傅傅立立叶叶变变换换的的正正弦弦波波和和余余弦弦波波进进行行傅傅立立叶叶变换的结果变换的结果 图图4表表示示了了正正弦弦波波和和小小波波的的区区别别,,由由此此可可以以看看出出,,正正弦弦波波从从负负无无穷穷一一直直延延续续到到正正无无穷穷,,正正弦弦波波是是平平滑滑而而且且是是可可预预测测的的,, 而而小小波波是是一一类类在在有有限限区区间间内内快快速速衰衰减减到到0的的函函数数,,其其平平均值为均值为0,, 小波趋于不规则、不对称小波趋于不规则、不对称 二、连续小波变换二、连续小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1616页页二、连续小波变换二、连续小波变换图图图图4 4 傅立叶变换与小波变换基元傅立叶变换与小波变换基元傅立叶变换与小波变换基元傅立叶变换与小波变换基元((((a a)))) 正弦波曲线;正弦波曲线;正弦波曲线;正弦波曲线; (b) (b) 小波曲线小波曲线小波曲线小波曲线 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1717页页二、连续小波变换二、连续小波变换信号信号信号信号不同频率分量的组成不同频率分量的组成不同频率分量的组成不同频率分量的组成图图图图5 5 信号傅立叶变换过程信号傅立叶变换过程信号傅立叶变换过程信号傅立叶变换过程傅傅立立叶叶变变换换过过程程小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1818页页18 基本小波函数基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下:的缩放和平移操作含义如下: (1) 缩放。
简单地讲,缩放简单地讲, 缩放就是压缩或伸展基本小波,缩放就是压缩或伸展基本小波, 缩放缩放系数越小,系数越小, 则小波越窄,如图则小波越窄,如图6所示 图6 小波的缩放操作 小小波波变变换换过过程程小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第1919页页19 (2) 平平移移简简单单地地讲讲,,平平移移就就是是小小波波的的延延迟迟或或超超前前在在数数学学上,上, 函数函数f(t)延迟延迟k的表达式为的表达式为f(t-k),如图,如图7所示 图7 小波的平移操作(a) 小波函数ψ(t); (b) 位移后的小波函数ψ(t-k) 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2020页页20 CWT计算主要有如下五个步骤:计算主要有如下五个步骤: 第第一一步步:: 取取一一个个小小波波,, 将将其其与与原原始始信信号号的的开开始始一一节节进进行行比比较 第第二二步步:: 计计算算数数值值C,, C表表示示小小波波与与所所取取一一节节信信号号的的相相似程度,计算结果取决于所选小波的形状,似程度,计算结果取决于所选小波的形状, 如图如图8所示。
所示 第第三三步步::向向右右移移动动小小波波,,重重复复第第一一步步和和第第二二步步,,直直至至覆覆盖盖整整个信号,如图个信号,如图9所示 第四步:第四步: 伸展小波,伸展小波, 重复第一步至第三步,重复第一步至第三步, 如图如图10所示 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2121页页图8 计算系数值C 二、连续小波变换二、连续小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2222页页图9 计算平移后系数值C 二、连续小波变换二、连续小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2323页页图10 计算尺度后系数值C 二、连续小波变换二、连续小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2424页页 第五步:对于所有缩放,重复第一步至第四步第五步:对于所有缩放,重复第一步至第四步 小小波波的的缩缩放放因因子子与与信信号号频频率率之之间间的的关关系系是是::缩缩放放因因子子scale越越小小,,表表示示小小波波越越窄窄,,度度量量的的是是信信号号的的细细节节变变化化,,表表示示信信号号频频率率越越高高;;缩缩放放因因子子scale越越大大,, 表表示示小小波波越越宽宽,,度度量的是信号的粗糙程度,表示信号频率越低。
量的是信号的粗糙程度,表示信号频率越低 二、连续小波变换二、连续小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2525页页二、连续小波变换二、连续小波变换结论:结论:Ø尺度因子尺度因子a a越小,越小, 的波形变窄,的波形变窄, 的频谱向的频谱向高频端扩展;高频端扩展;a a越大,越大, 波形变宽,波形变宽, 的频谱的频谱 向向低频端扩展,从而实现过了低频端扩展,从而实现过了时间-频率窗的自适应调节时间-频率窗的自适应调节Ø连续小波变换的实质就是以基函数连续小波变换的实质就是以基函数 的形式把信的形式把信号号f(t)分解为不同频带的子信号,实现信号在不同频分解为不同频带的子信号,实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离,也可以视为一个滤波器带、不同时刻的合理分离,也可以视为一个滤波器小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2626页页一维连续小波变换一维连续小波变换Matlab实现实现lCOEFS=cwt(S,SCALES,’wname’)lCOEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,’plot’)lCOEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE)lCOEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE,XLIM)小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2727页页 在在每每个个可可能能的的缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数下下计计算算小小波波系系数数,,其其计计算算量量相相当当大大,, 将将产产生生惊惊人人的的数数据据量量,,而而且且有有许许多多数数据据是是无无用用的的。
如如果果缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数都都选选择择为为2j((j>0且且为为整整数数))的的倍倍数数,, 即即只只选选择择部部分分缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数来来进进行行计计算算,, 就就会会使使分分析析的的数数据据量量大大大大减减少少使使用用这这样样的的缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数的的小小波波变变换换称称为为双双尺尺度度小小波波变变换换((Dyadic Wavelet Transform)),,它它是是离离散散小小波波变变换换((Discrete Wavelet Transform,, DWT))的的一一种种形形式式通通常常离离散散小小波波变换就是指双尺度小波变换变换就是指双尺度小波变换 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2828页页小波变换就是将小波变换就是将 “ 原始信号原始信号 s ” 变换变换 成成 “ 小波小波 系数系数 w ” ,, w=[wa , wd] (( 近似系数近似系数wa与细节系数与细节系数wd )则则原始信号原始信号s s可分解成小波近似可分解成小波近似a a与小波细节与小波细节d d之和。
之和 s = a+ds = a+d小波系数小波系数 w = [ ww = [ wa a , w , wd d ] ] 的分量,乘以基函数,形成小波分的分量,乘以基函数,形成小波分解:解:小波近似系数小波近似系数w wa a × ×基函数基函数A=A=近似分解近似分解 a ---a ---平均平均小波细节系数小波细节系数w wd d × ×基函数基函数D=D=细节分解细节分解 d---d---变化变化 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第2929页页 小波基小波基D小波基小波基A A原始信号原始信号小波系数小波系数wd小波系数小波系数wa正变换:原始信号在小波基上,获得正变换:原始信号在小波基上,获得 “小波系数小波系数”分量分量反变换:所有反变换:所有“小波分解小波分解” 合成原始信号合成原始信号 例如:例如: 小波分解小波分解 a=小波系数小波系数 wa × 小波基小波基A三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3030页页离散小波变换公式离散小波变换公式正变换正变换反变换反变换 其中:其中: 是小波基函数是小波基函数l信号信号 s 有有M个样本,个样本,J 级小波变换:级小波变换:小波分解小波系数三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3131页页 执执行行离离散散小小波波变变换换的的有有效效方方法法是是使使用用滤滤波波器器,, 该该方方法法是是Mallat于于1988年年提提出出的的,,称称为为Mallat算算法法。
这这种种方方法法实实际际上上是是一一种种信信号号分分解解的的方方法法,, 在在数数字字信信号号处处理理中中常常称称为为双双通道子带编码通道子带编码 用用滤滤波波器器执执行行离离散散小小波波变变换换的的概概念念如如图图11所所示示S表表示示原原始始的的输输入入信信号号,, 通通过过两两个个互互补补的的滤滤波波器器组组,, 其其中中一一个个滤滤波波器器为为低低通通滤滤波波器器,,通通过过该该滤滤波波器器可可得得到到信信号号的的近近似似值值A((Approximations)),,另另一一个个为为高高通通滤滤波波器器,, 通通过过该滤波器可得到信号的细节值该滤波器可得到信号的细节值D((Detail) 三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3232页页图11 小波分解示意图三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3333页页 在在小小波波分分析析中中,,近近似似值值是是大大的的缩缩放放因因子子计计算算的的系系数数,,表表示示信信号号的的低低频频分分量量,,而而细细节节值值是是小小的的缩缩放放因因子子计计算算的的系系数数,,表表示示信信号号的的高高频频分分量量。
实实际际应应用用中中,,信信号号的的低低频频分分量量往往往往是是最最重重要要的的,,而而高高频频分分量量只只起起一一个个修修饰饰的的作作用用如如同同一一个个人人的的声声音音一一样样,, 把把高高频频分分量量去去掉掉后后,,听听起起来来声声音音会会发发生生改改变变,,但但还还能能听听出出说说的的是是什什么么内内容容,,但但如如果果把把低频分量删除后,就会什么内容也听不出来了低频分量删除后,就会什么内容也听不出来了 三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3434页页 由由图图11可可以以看看出出离离散散小小波波变变换换可可以以表表示示成成由由低低通通滤滤波波器器和和高高通通滤滤波波器器组组成成的的一一棵棵树树原原始始信信号号经经过过一一对对互互补补的的滤滤波波器器组组进进行行的的分分解解称称为为一一级级分分解解,,信信号号的的分分解解过过程程也也可可以以不不断断进进行行下下去去,,也也就就是是说说可可以以进进行行多多级级分分解解如如果果对对信信号号的的高高频频分分量量不不再再分分解解,,而而对对低低频频分分量量进进行行连连续续分分解解,,就就可可以以得得到到信信号号不不同同分分辨辨率率下下的的低低频频分分量量,, 这这也也称称为为信信号号的的多多分分辨辨率率分分析析。
如如此此进进行行下下去去,, 就就会会形形成成图图12所所示示的的一一棵棵比比较较大大的的分分解解树树,, 称称其其为为信信号号的的小小波波分分解解树树((Wavelet Decomposition Tree))实实际际中中,, 分分解解的的级级数数取取决决于于要要分分析析的的信信号号数数据据特特征征及用户的具体需要及用户的具体需要 三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3535页页35图图12 多级信号分解示意图多级信号分解示意图((a)) 信号分解;信号分解; (b) 小波分数;小波分数; ((c)小波分解树)小波分解树 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3636页页 对对于于一一个个信信号号,,如如采采用用图图11所所示示的的方方法法,,理理论论上上产产生生的的数数据据量量将将是是原原始始数数据据的的两两倍倍于于是是,,根根据据奈奈奎奎斯斯特特((Nyquist))采采样样定定理理,, 可可用用下下采采样样的的方方法法来来减减少少数数据据量量,,即即在在每每个个通通道道内内((高高通通和和低低通通通通道道))每每两两个个样样本本数数据据取取一一个个,, 便便可可得得到到离离散散小小波波变变换换的的系系数数((Coefficient)),, 分分别别用用cA和和cD表示,如图表示,如图13所示。
图中所示图中○表示下采样表示下采样 ↓三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3737页页图图13 小波分解下采样示意图小波分解下采样示意图 三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3838页页 在在Matlab中,离散小波变换分解算法主要使中,离散小波变换分解算法主要使用如下几个常用命令:用如下几个常用命令: dwt 用于信号的单层分解用于信号的单层分解 wavedec 用于信号的多层分解用于信号的多层分解 wmaxlev 在多层分解前求最大的分解层数在多层分解前求最大的分解层数三、一维离散小波变换三、一维离散小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第3939页页 将将信信号号的的小小波波分分解解的的分分量量进进行行处处理理后后,,一一般般还还要要根根据据需需要要把把信信号号恢恢复复出出来来,,也也就就是是利利用用信信号号的的小小波波分分解解的的系系 数数 还还 原原 出出 原原 始始 信信 号号 ,, 这这 一一 过过 程程 称称 为为 小小 波波 重重 构构((Wavelet Reconstruction))或或叫叫做做小小波波合合成成((Wavelet Synthesis))。
这这一一合合成成过过程程的的数数学学运运算算叫叫做做逆逆离离散散小小波波变换(变换(Inverse Discrete Wavelet Transform,, IDWT) 三、一维离散小波重构三、一维离散小波重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4040页页图图14 小波重构算法示意图小波重构算法示意图 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4141页页 1)重构近似信号与细节信号)重构近似信号与细节信号 由由图图14可可知知,,由由小小波波分分解解的的近近似似系系数数和和细细节节系系数数可可以以重重构构出出原原始始信信号号同同样样,,可可由由近近似似系系数数和和细细节节系系数数分分别别重重构构出出信信号号的的近近似似值值或或细细节节值值,,这这时时只只要要近近似似系系数数或或细细节节系系数数置为零即可置为零即可 图图15是对第一层近似信号或细节信号进行重构的示意是对第一层近似信号或细节信号进行重构的示意图 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4242页页图图15 重构近似和细节信号示意重构近似和细节信号示意((a)) 重构近似信号;重构近似信号; (b) 重构细节信号重构细节信号 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4343页页 2)多层重构)多层重构 在在图图15中中,,重重构构出出信信号号的的近近似似值值A1与与细细节节值值D1之之后后,,则则原原信信号号可可用用A1++D1==S重重构构出出来来。
对对应应于于信信号号的的多多层层小小波波分分解解,,小小波波的的多多层层重重构构如如图图16所所示示由由图图16可可见见重重构构过过程程为为::A3++D3==A2;;A2++D2==A1;;A1+D1==S 信信号号重重构构中中,,滤滤波波器器的的选选择择非非常常重重要要,,关关系系到到能能否否重重构构出出满满意意的的原原始始信信号号低低通通分分解解滤滤波波器器((L))和和高高通通分分解解滤滤波波器器((H))及及重重构构滤滤波波器器组组((L′和和H′))构构成成一一个个系系统统,, 这这个个系系统统称称为为正正交交镜镜像像滤滤波波器器((Quadrature Mirror Filters,, QMF)系统,)系统, 如图如图17所示 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4444页页图16 多层小波重构示意图三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4545页页图图17 多层小波分解和重构示意图多层小波分解和重构示意图 三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4646页页用于离散小波重构的命令主要有如下几个:用于离散小波重构的命令主要有如下几个: idwt 用于单层小波重构用于单层小波重构 waverec 用于多层小波重构原始信号,要求输入参数用于多层小波重构原始信号,要求输入参数 同小波分解得到结果的格式一致同小波分解得到结果的格式一致 wrcoef 用于重构小波系数至某一层次,要求输入参用于重构小波系数至某一层次,要求输入参 数同小波分解得到结果的格式一致数同小波分解得到结果的格式一致 upcoef 用于重构小波系数至上一层次,要求输入参数同小波分用于重构小波系数至上一层次,要求输入参数同小波分 解得到结果的格式一致解得到结果的格式一致用于得到某一层次的小波系数的命令主要有以下几个:用于得到某一层次的小波系数的命令主要有以下几个: detcoef 求得某一层次的细节系数求得某一层次的细节系数 appcoef 求得某一层次的近似系数求得某一层次的近似系数 upwlev 重构组织小波系数的排列形式重构组织小波系数的排列形式三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4747页页 二二维维离离散散小小波波变变换换是是一一维维离离散散小小波波变变换换的的推推广广,, 其其实实质质上上是是将将二二维维信信号号在在不不同同尺尺度度上上的的分分解解,, 得得到到原原始始信信号号的的近近似似值值和和细细节节值值。
由由于于信信号号是是二二维维的的,,因因此此分分解解也也是是二二维维的的分分解解的的结结果果为为:: 近近似似分分量量cA、、 水水平平细细节节分分量量cH、、 垂垂直直细细节节分分量量cV和和对对角角细细节节分分量量cD同同样样也也可可以以利利用用二二维维小小波波分分解解的的结结果果在在不不同同尺尺度度上上重重构构信信号号二二维维小小波波分分解解和和重重构构过过程程如图如图18所示 四、二维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第4848页页48图图18 二维小波分解和重构过程示意图二维小波分解和重构过程示意图((a)) 二维二维DWT;; (b) 二维二维IDWT 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用五、五、Matlab中的小波分析工具箱中的小波分析工具箱((Wavelet Toolbox,Ver.1.0)lMatlab小波分析工具箱提供了一个可视化小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具,是一个很好的算法研究的小波分析工具,是一个很好的算法研究和工程设计,仿真和应用平台特别适合和工程设计,仿真和应用平台。
特别适合于信号和图像分析,综合,去噪,压缩等于信号和图像分析,综合,去噪,压缩等领域的研究人员领域的研究人员小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用小波分析工具箱的七类函数:小波分析工具箱的七类函数:l常用的小波基函数常用的小波基函数l连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用l离散小波变换及其应用离散小波变换及其应用l小波包变换小波包变换l信号和图像的多尺度分解信号和图像的多尺度分解l基于小波变换的信号去噪基于小波变换的信号去噪l基于小波变换的信号压缩基于小波变换的信号压缩小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第5151页页几种常用小波几种常用小波1. Haar小波小波2. Daubechies小波小波3. Symlet小波小波4. 双正交小波()双正交小波()5. Coiflet小波小波6. Morlet小波小波7. Mexico草帽小波草帽小波8. Meyer小波小波l具有对称性的小波不产生相位畸变,在图像处理中非常有用具有对称性的小波不产生相位畸变,在图像处理中非常有用l具有好的正则性的小波,易于获得光滑的重构曲线和图像具有好的正则性的小波,易于获得光滑的重构曲线和图像。
l小波函数和尺度函数如果存在消失矩,在压缩时有用小波函数和尺度函数如果存在消失矩,在压缩时有用小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用常用的小波基函数:常用的小波基函数: 参数表示小波基的名称morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN紧支集正交小波symN近似对称的紧支集双正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd双正交样条小波小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用怎样获取小波基的信息:怎样获取小波基的信息:l在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’)?waveinfo('meyr') MEYRINFO Information on Meyer wavelet. Meyer Wavelet General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support [-8 8] Regularity indefinitely derivable Symmetry yes Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, 137, 152.怎样获取小波基的信息:怎样获取小波基的信息:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用计算小波滤波器系数的函数:计算小波滤波器系数的函数: 参数表示小波基的名称morlet计算Morlet小波滤波器系数mexihat计算墨西哥草帽小波滤波器系数meyer计算Meyer小波与尺度滤波器系数meyeraux计算Meyer小波辅助函数dbwavf计算紧支集双正交小波滤波器系数dbaux计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数symwavf计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数coifwavf计算Coifmant小波尺度滤波器系数biowavf计算双正交样条小波尺度滤波器参数小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用wname='bior2.2';[rf,rd]=biorwavf(wname)rf =rd =计算小波滤波器系数的函数:计算小波滤波器系数的函数:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用用于验证算法的数据文件:用于验证算法的数据文件: 文件名说明sumsin.mat三个正弦函数的叠加freqbrk.mat存在频率断点的组合正弦信号 whitnois.mat均匀分布的白噪声 warma.mat有色AR(3)噪声 wstep.mat阶梯信号 nearbrk.mat分段线性信号 scddvbrk.mat具有二阶可微跳变的信号wnoislop.mat叠加了白噪声的斜坡信号 …………小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用用于验证算法的数据文件:用于验证算法的数据文件:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用连续小波变换:连续小波变换:格式:格式: coefs=cwt(s,scales,’wname’) coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’)说明:说明: s:输入信号输入信号 scales: 需要计算的尺度范围需要计算的尺度范围 wname:所用的小波基所用的小波基 plot: 用图像方式显示小波系数用图像方式显示小波系数小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用例子:例子:l c = cwt(s,1:32,'meyr')l c = cwt(s,[64 32 16:-2:2],'morl')l c = cwt(s,[3 18 12.9 7 1.5],'db2')小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用一维离散小波变换:一维离散小波变换:l dwt [cA,cD]=dwt(X,’wname’) [cA,cD]=dwt(X,H,G) 其中:其中:cA ::低频分量,低频分量, cD::高频分量高频分量 X::输入信号。
输入信号 wname::小波基名称小波基名称 H::低通滤波器低通滤波器 G::高通滤波器高通滤波器小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用多层小波分解:多层小波分解: [A,L]=wavedec(X,N,,’wname’) [A,L]=wavedec(X,N,H,G) 其中:其中:A ::各层分量,各层分量, L::各层分量长度各层分量长度 N::分解层数分解层数 X::输入信号输入信号 wname::小波基名称小波基名称 H::低通滤波器低通滤波器 G::高通滤波器高通滤波器小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用其他的一维函数:其他的一维函数:l抽样:抽样: dyaddowl补零插值:补零插值:dyaupl滤波器生成:滤波器生成:qmf,orthfilt,wfiltersl反变换:反变换:idwt,idwtper,l重构:重构: upwlev,waverec,wrcoef,小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用二维离散小波变换:二维离散小波变换:l dwt2 [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,H,G) 其中:其中:cA ::低频分量,低频分量, cH::水平高频分量水平高频分量 cV::垂直高频分量垂直高频分量 cD::对角高频分量对角高频分量 X::输入信号。
输入信号 wname::小波基名称小波基名称 H::低通滤波器低通滤波器 G::高通滤波器高通滤波器小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用二维信号的多层小波分解:二维信号的多层小波分解: [A,L]=wavedec2(X,N,,’wname’) [A,L]=wavedec2(X,N,H,G) 其中:其中:A ::各层分量,各层分量, L::各层分量长度各层分量长度 N::分解层数分解层数 X::输入信号输入信号 wname::小波基名称小波基名称 H::低通滤波器低通滤波器 G::高通滤波器高通滤波器小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用其他的二维函数:其他的二维函数:l对变换信号的伪彩色编码:对变换信号的伪彩色编码:wcodematl反变换:反变换:idwt2,idwtper2,l重构:重构: upwlev2,waverec2,wrcoef2,小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用小波包分解:小波包分解:l树操作树操作n allnodes 列出数结构的所有节点。
列出数结构的所有节点n isnode 判断指定位置是否存在节点判断指定位置是否存在节点n istnode 判断一个节点是否为终端节点判断一个节点是否为终端节点n nodejoin 树的剪枝树的剪枝 …… 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用小波包分析函数:小波包分析函数:nbesttree 寻找最优分解树寻找最优分解树n bestlevt 寻找最优满树寻找最优满树n wentropy 计算熵值计算熵值n wpdec 一维信号的小波包分解一维信号的小波包分解n wpdec2 二维信号的小波包分解二维信号的小波包分解n wpfun 小波包函数族小波包函数族n wpjoin 小波包分解树的节点合并小波包分解树的节点合并n wprec 一维信号的小波包信号重构一维信号的小波包信号重构 n wprec2 二维信号的小波包信号重构二维信号的小波包信号重构 … 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用信号去噪与压缩:信号去噪与压缩:l在小波变换域上进行阀值处理。
在小波变换域上进行阀值处理多层小波分解多层小波分解阀值操作阀值操作多层小波重构多层小波重构小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用其他的免费软件工具:其他的免费软件工具:lWavelab David Donoho在斯坦福大学开发的在斯坦福大学开发的Matlab程程序库,最新版本为,有序库,最新版本为,有1200多个文件多个文件小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用lLastWave 小波信号和图像处理软件,用小波信号和图像处理软件,用C语言编写,可在语言编写,可在Unix和和Macintosh上运行其他的免费软件工具:其他的免费软件工具:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用值得关注的几个发展方向:值得关注的几个发展方向:l提升小波变换(提升小波变换(Lifting scheme wavelet transform)l多小波变换(多小波变换(Multiwavelet transform) l线调频小波变换线调频小波变换(chirplet transform)小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用l提升小波变换(提升小波变换(Lifting scheme wavelet transform)值得关注的几个发展方向:值得关注的几个发展方向:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用多小波变换:多小波变换:l在图像处理和信号分析的实际应用中,我们在图像处理和信号分析的实际应用中,我们需要小波具有正交性和对称性。
可是,实数需要小波具有正交性和对称性可是,实数域中,紧支、对称、正交的非平凡单小波是域中,紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的,这使人们不得不在正交性与对称不存在的,这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷性之间进行折衷小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用lGoodman等提出多小波的概念,其基本思想是将单小波等提出多小波的概念,其基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间,扩展为由多个中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间,扩展为由多个尺度函数生成,以此来获得更大的自由度尺度函数生成,以此来获得更大的自由度1994年,年,Geronimo,Hardin和和Massopus构造了著名的构造了著名的GHM多小多小波它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部波它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性,又克服了单小波的缺陷,将实际应用中十分重要化特性,又克服了单小波的缺陷,将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起与此同时,在信号处理领域,人们将传统的滤波器组推广与此同时,在信号处理领域,人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波器组,初步形成了矢值滤波器组至矢值滤波器组、块滤波器组,初步形成了矢值滤波器组的理论体系,并建立了它和多小波变换的关系。
的理论体系,并建立了它和多小波变换的关系 多小波变换:多小波变换:小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用l一维信号小波变换一维信号小波变换l小波去噪声小波去噪声l小波分析在图象处理中的应用小波分析在图象处理中的应用举举 例例小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用1. 一维信号小波变换一维信号小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用1. 1. 一维信号小波变换一维信号小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用1. 一维信号小波变换一维信号小波变换小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用2. 2. 小波去噪声小波去噪声 一般噪声特点:一般噪声特点: (1)高频成分(细节) ,(2)幅度小:用阈值;去噪声过程:去噪声过程: 去除原始信号高频成分(细节)中幅度小于阈值部分 对2级小波,设定2个阈值,称“阈值2” 和 “阈值1” 去除1级噪声:去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分 去除2级噪声:去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分恢复:恢复: 将小波近似分解,加上去噪声后小波细节分解,即获得去除噪声的信号 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用2. 小波去噪声小波去噪声 两级分解两级分解噪声去除,噪声去除,括号内保留部分括号内保留部分数据数据原始信号原始信号 (红红),去噪后去噪后 (黄黄)wd1两级两级小波系数小波系数wd2小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用2. 2. 小波去噪声小波去噪声 |wd1 | 1级去噪前绝对值级去噪前绝对值|wd1 | 1级去噪后绝对值级去噪后绝对值|wd2 | 2级去噪后绝对值级去噪后绝对值|wd2 | 2级去噪前绝对值级去噪前绝对值原始信号原始信号 (红红),去噪后去噪后 (黄黄)1 级细节小波系数级细节小波系数2 级细节小波系数级细节小波系数0.707×[1,1,-4,3,1,1,-2,-6]0.5×[-6,-3,-6,-8]两级两级小波系数小波系数阈值阈值1wd1wd2阈值阈值2小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用2. 小波去噪声小波去噪声 16点原始信号点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]小波去噪声小波去噪声两级分解两级分解小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用3 、小波分析在图象处理中的应用、小波分析在图象处理中的应用 图图象象是是二二维维信信号号,,其其小小波波变变换换相相当当于于二二次次一一维维信号的小波变换:。
信号的小波变换: ((1))第第一一次次一一维维信信号号的的小小波波变变换换相相当当于于图图象象的的行变换 ((2))第第二二次次一一维维信信号号的的小小波波变变换换相相当当于于图图象象的的列变换 小小波波变变换换用用于于图图象象压压缩缩有有良良好好的的效效果果,,已已形形成成图象压缩的标准如图象压缩的标准如JPEG2000小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用3.1 小波变换用于图象特征抽取小波变换用于图象特征抽取第第1级级斜线细节斜线细节第第1级级水平细节水平细节第第1级级垂直细节垂直细节水平细节水平细节近似近似图象图象垂直细节垂直细节斜线细节斜线细节小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用 第第1级级 L1斜线细节斜线细节第第1级级 L1水平细节水平细节第第1级级 L1垂直细节垂直细节第第2级级 L2细节细节近似图象近似图象第第3级级 L33.2 小波系数分级方块表示法小波系数分级方块表示法小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用 第第 3 级级 L3分辨率分辨率第第 2 级级 L2分辨率分辨率第第 1 级级 L1分辨率分辨率3.3 小波系数分级树形表示法小波系数分级树形表示法小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用3.4 小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩l采用采用小波小波进行压缩。
作进行压缩作“小波变换小波变换”后,后,统计统计特性有改善,特性有改善,消除行和列之间的相关关系消除行和列之间的相关关系l有损压缩:根据视觉原理,不同分辨率小波系有损压缩:根据视觉原理,不同分辨率小波系数进行比特分配然后数进行比特分配然后转换到一维转换到一维作作熵编码,熵编码,如算术编码或霍夫曼编码如算术编码或霍夫曼编码l无损压缩:选择无损压缩:选择“整数整数小波变换小波变换”,无舍入误,无舍入误差但不能进行比特分配但不能进行比特分配 小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用3.4 小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩 第第 3 级级 L3 水平、水平、斜线、垂直细节斜线、垂直细节第第 2 级级 L2 水平、水平、斜线、垂直细节斜线、垂直细节第第 1 级级 L1 水平、水平、斜线、垂直细节斜线、垂直细节两阈值线两阈值线之间的直之间的直方图被去方图被去除(有损除(有损压缩)压缩)小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第9090页页TermsWavelet: 小波Compact support: 紧支撑Wavelet transform (WT): 小波变换Continuous Wavelet transform (CWT): 连续小波变换Discrete Wavelet transform (DWT): 离散小波变换Filter bank: 滤波器族小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第9191页页TermsDyadic wavelet: 二进小波Scaling function: 尺度函数Basis wavelet: 基小波Orthogonal wavelet: 正交小波Orthonormal wavelet: 正交归一小波Mirror filter: 镜像滤波器Pyramid algorithm: 金字塔算法Herringbone algorithm: 鱼骨算法Mallat algorithm: 马拉算法小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用第第9292页页TermsMultiresolution analysis: 多分辨率分析Denoising: 去噪声Fractal: 分形Self-similar: 自相似Image fusion: 图象融合小波变换在信号处理中应用小波变换在信号处理中应用。












