类型15射影定理类问题精选20题中考数学三轮冲刺难点题型突破.doc

射影定理类问题1．如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），作CD⊥AB与半圆交于点C，设AD＝a，BD＝b，则下列选项正确的是（　　）A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若AC＝3，AB＝4，则AD＝（　　）A．1 B． C． D．54．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）A． B． C． D．35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若AC＝2，BC＝4，则AE的长为　 　．6．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，∠BED＝90°，EB＝ED，连接AE，若BC＝3，则△ABE的面积为　 　．7．如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的二次项为1的一元二次方程是　 　．8．两个正数a、b，我们把叫做a与b的调和平均数，已知AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，过C作CD⊥AB，D为垂足，过D作DE⊥OC，E为垂足，现取AD＝a，DB＝b，则图中线段　 　的长度为a与b的调和平均数．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB•AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．11．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形．图中Rt△ABC的斜边AB的长等于　 　（用a，b的代数式表示）．12．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB＝4，∠BAE＝30°，求△DEC的面积是　 　．13．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝　 　．14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB延长线上一点，且AE＝6，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝　 　．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆交边AB于点D、E，交边BC于点F，若D、E三等分AB，AC＝2，则⊙O的半径为　 　．16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．17．如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若tan∠DCE＝，求的值．18．如图，AB是半圆0的直径，过C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC＝2cm，AD：DB＝4：1，求CD的长．19．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．求证：CD平分EF．20．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．试题解析1．如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），作CD⊥AB与半圆交于点C，设AD＝a，BD＝b，则下列选项正确的是（　　）A． B． C． D．解：连接AC，BC，∵AB为直径，AB＝AD+BD＝a+b，∴∠ACD＝90°，OC＝，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠CDB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，即＝，∴CD＝，∵OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），∴≥；故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽CBD，∴＝，即CD2＝AD•DB，故①正确；②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，∴BC＝BM＝BD+EH，∴，故③正确；④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD，故④正确．故选：D．3．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若AC＝3，AB＝4，则AD＝（　　）A．1 B． C． D．5解：如图，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠ACD＝∠B（同角的余角相等）．又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，即＝，∴AD＝．故选：B．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）A． B． C． D．3解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，则AD＝．故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若AC＝2，BC＝4，则AE的长为　　．解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴tan∠CAE＝tanB，∴，∴＝，∴CE＝1，∴AE＝＝＝，故答案为：．6．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，∠BED＝90°，EB＝ED，连接AE，若BC＝3，则△ABE的面积为　　．解：作EF⊥AB于点F，∵∠BED＝90°，EB＝ED，EF⊥AB，∴EF＝BD，∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，∴BD•AB＝BC2＝18，∴△ABE的面积＝•AB•EF＝×AB×BD＝，故答案为：．7．如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的二次项为1的一元二次方程是　x2﹣x+1＝0　．解：连接DA、DB、OD，在Rt△OCD中，OD＝＝＝，∴AC+BC＝AB＝，∵AB为半圆的直径，∴∠ADB＝90°，又DC⊥AB，∴AC•BC＝CD2＝1，∴以AC和BC的长为两根的二次项为1的一元二次方程是x2﹣x+1＝0，故答案为：x2﹣x+1＝0．8．两个正数a、b，我们把叫做a与b的调和平均数，已知AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，过C作CD⊥AB，D为垂足，过D作DE⊥OC，E为垂足，现取AD＝a，DB＝b，则图中线段　CE　的长度为a与b的调和平均数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，AB＝AD+DB＝a+b，∵CD⊥AB，∴CD2＝AD•DB＝ab，在Rt△ODC中，DE⊥OC，∴CD2＝CE•OC，解得，CE＝＝＝，∴线段CE的长度为a与b的调和平均数，故答案为：CE．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD；（2）解：∵AC2＝AB•AD，∴62＝（AD+5）•AD，整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，∵CD2＝AD•BD，∴CD＝＝2．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB•AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AB•AD；（2）解：存在，理由：如图，过C作∠ACD＝∠B交AB于D，则AC2＝AB•AD，证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AB•AD．11．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形．图中Rt△ABC的斜边AB的长等于　　（用a，b的代数式表示）．解：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC2＝a•AB可得，AB＝．故答案为：．12．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB＝4，∠BAE＝30°，求△DEC的面积是　　．解：如图，过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，AB＝4，AE⊥BD，∠BAE＝30°，∴AB2＝BE×BD，BE＝2，AE＝2，∴ED＝BD﹣BE＝6，∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD＝4，AEB＝∠CFD＝90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE＝CF．∴S△AED＝ED•AE，S△ECD＝ED•CF∴S△AED＝S△CDE，∵AE＝2，DE＝6，∴△ECD的面积是6．故答案为：6．13．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝　2　．解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．故答案为2．14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB延长线上一点，且AE＝6，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝　2　．解：作出AE的中点O，连接OF．则OF＝OA＝AE＝3，OB＝AB﹣OA＝4﹣3＝1．在直角△OBF中，BF＝．故答案是：2．15．如图，△ABC中，∠。