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115断裂力学结课论文 断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、 材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程本课程 中主要介绍了断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性 断裂力学基本理论、裂纹扩展、J 积分以及断裂问题的有限元方法等内容一、断裂的基本概念1. 断裂力学的产生和发展断裂是构件破坏的重要形式之一，影响材料断裂的因素很多，如构件的形状及尺寸， 载荷的特征与分布，构件材料本身的状态及应用的环境如温度、腐蚀介质等，当然更重 要的还有材料本身的强度水平为了防止构件的断裂或变形失效，传统的安全设计思想 主要立足于外加载荷与使用材料的强度级别的选用，根据常规的强度理论，只要构件服 役应力与材料的强度满足(6- 1)1 max2bsnn 则认为使用是安全的其中 σmax为构建所承受的最大应力；σb ，σs分别为材料的强度极限和屈服强度，1与分别为按强度极限与按屈服强度取用的安全系数安1n2n全系数是一个大于 1 的数，其含义为扣除了材料中对强度有影响的诸因素对强度可能造 成的损害作用，应当说这种考虑问题的出发点是合理的，也应当是行之有效的，因而多 年来这种设计思想在工程设计中发挥了重要作用，而且还会继续发挥其重要作用。

断裂力学的理论最早由 Griffith 与 20 年代提出Griffith 在断裂物理方面有相当 大的贡献，其中最大的贡献要算提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这 个观点而建立的断裂判据根据 Griffith 观点而发展起来的弹性能释放理论在现代断 裂力学中仍占有相当重要的地位 根据 Griffith 能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此 释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积定义裂纹尖端的能量释放率(energy release rate)如下∶能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板 每单位厚度所释放出来的能量用字母 G 来代表能量释放率由定义可知，G 具有能量 的概念其国际制单位(SI 单位制)一般用“百万牛顿/米”(MN/m)材料本身是具有抵 抗裂纹扩展的能力的，因此只有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展此抵抗裂纹 扩展的能力可以用表面自由能(surface free energy)来度量一般用 γs表示表面自 由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。

则在准静态的情形下，裂 纹扩展时，裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积换句话说，根据能量 守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量设每个裂端裂纹扩展量为，则由能量守恒定律有：a()(2)sG B aB a116即：2sG这就是著名的 Griffith 断裂判据 Griffith 假定为一材料常数，剩下的问题就是如何计算带裂纹物体裂端的能量s释放率若此值大于或等于s ，就会发生断裂；若小于s ，则不发生断裂，GG2s2s此时值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力，裂端并没有真的释放出能量G在 Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和 Orowan 从热力学的观点重新考虑 了断裂问题，提出了能量平衡理论按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界 对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加 上不可恢复消耗能的改变量其提出的公式为：()0p td WU dA其中 W 为外界对系统所做的功，U 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积，为tAp表面能该公式虽然有所进步，但仍未超出经典的 Griffith 公式的范围，而且同表面能一 样，形变功 U 也是难以测量的，因而该式仍难以实现工程上的的应用。

断裂力学理论的重大突破应归功于 Irwin 应力场强度因子概念的提出，以及以后断 裂韧性概念的形成1957 年，Irwin 应用了 H.M.Westergaard 在 1939 年提出的解平面 问题的一个应力函数，求解了带穿透性裂纹的空间大平板两相拉伸的应力问题，并引入 了应力强度因子 K 的概念，随后又在此基础上形成了断裂韧性的概念，从而奠定了线弹 性断裂力学的基础2. 裂纹及类型断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹现代断裂力学能对此带裂纹物体 的裂纹端点区进行应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量按裂纹存在的几何特性，可把裂纹分为穿透裂纹、表面裂纹和深埋裂纹在断裂力学中，裂纹常按其受力及裂纹扩展途径分为三种类型，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型Ⅰ型裂纹即为张开型裂纹，如图 1-1(a)所示，拉应力垂直于裂纹扩展面，裂纹上下 表面沿作用力的方向张开，裂纹沿裂纹面向前扩展工程中属于这类裂纹的如板中有一 穿透裂纹，其方向与板所受拉应力方向垂直，或一压力容器中的纵向裂纹（如图 1- 1（b） ）等117图 1- 1 张开型（Ⅰ型）裂纹 Ⅱ型裂纹即为滑开型裂纹。

其特征为裂纹的扩展受切应力控制，切应力平行作用于 裂纹面而且垂图 1- 2 滑开型（Ⅱ型）裂纹 图 1- 3 撕开型（Ⅲ型）裂纹直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑开扩展（如图 1-2（a） ） 属于这类裂纹的如齿轮 或长键根部沿切线方向的裂纹引起的开裂；受扭转的薄壁圆管上贯串管壁的环向裂纹在 扭转力的作用下引起的开裂（如图 1-2（b） ）等，均属于Ⅱ型裂纹Ⅲ型裂纹即为撕开型裂纹在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力的作 用下，裂纹面产生沿裂纹面的撕开扩展（如图 1-3） 在这三种裂纹中，以Ⅰ型裂纹最为常见，也是最为危险的一种裂纹，所以在研究裂 纹体的断裂问题时，这种裂纹是研究最多的二、应力强度因子断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然 与此裂端的能量释放率有关若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即 可发生，反之则不发生因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键1. 裂端的应力场和位移场下面考虑二维的 I 型裂纹问题图给 出一个以裂纹端点为原点的坐标系，此坐 标系 x 方向是裂纹正前方，y 方向是裂纹面 的法线方向，z 方向则是离开纸面的方向。

考虑一个离裂端很近，位置在极坐标的单元，其应力状态可以用、和r,xy三个应力分量来表示xy1182. Ⅰ型裂纹的应力应变场由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为3cos1 sinsin22223cos1 sinsin2222 3sincoscos2222I xI yI xyK r K r K r  高次项高次项高次项在裂端区，即 r 足够小的情形下，式中 r 的高次项比首项小得多，因而可以忽略 从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由 KI值的大小来决定，因此就称为 I 型裂纹的应力强度因子裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：IK( ), ,,2I ijijKfi jx yr通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为：1/2 21/2 22(1)2sincos2222(1)2cossin222IIruKrvK这里u和v分别为 x 和 y 方向的位移分量，μ 是剪切模量，κ 与泊松比 ν 的关系 为：34 3 1    平面应力平面应变II 型裂纹的应力场和位移场3sin2coscos2222 3sincoscos22223cos1 sinsin2222II xII yII xyKr Kr Kr  1191/2 21/2 22(1)2cossin2222(1)2sincos222IIIIruKrvKIII 型裂纹的应力场和位移场sin22cos22III xzIII zyK r K r  1/22sin22IIIKrw 3. 应力奇异性和应力强度因子三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即 r→0 时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。

这种特性称为应力奇异性（stress singularity） 图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板它们分别受到无穷远处 y 方向的均匀 拉应力的作用对于圆孔，此时 A 和 B 两点有应力集中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知对于椭圆孔，应力集中仍发生 A 点和 B 点，其应 力集中系数为：12taK 为椭圆的长半轴，为椭圆长轴端点的曲率半径a由于大于，所以恒大于 3，即椭圆应力集中的程度比圆孔问题严重若是短atK轴长趋于零，则也将趋于零，此时应力集中系数将趋于无限大在没有特别说明的tK情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下120两个裂纹面是互相接触的因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零时的椭圆孔，其裂端有无 限大应力应力是看不见的，它是个抽象的概念，然而位移过程是可以看到的物体上个别点 （无限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点的位移趋于无限因此，裂端具有无 限大应力是允许的同时可以证明，这并不影响裂端区应变能的有界4. 叠加原理线弹性力学的本构关系是线性的，因此，裂纹问题的应力强度因子可以利用叠加原 理来求得。

三、线弹性断裂力学1. 应力强度因子概念和能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能 量在裂端释放以形成新的裂纹面积下面以带有穿透板厚的 I 型裂纹的平板为例，来建 立应力强度因子和能量释放率间的关系裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前 方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力:( ,0)2I yKrr3cos1 sinsin2222I yK r在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长 a 长度，即把裂端前方撑开成长 度为 a+s 的裂纹此时在原坐标系的 x=r 处或离新裂纹端点 s-r 处，新裂纹上表面的位 移v(s-r,π)：1/2 22(1)2cossin222IrvK1(, )[]22Ia ssrv srK裂纹形成时外力做功，当裂纹表面张开至上 式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时 裂纹表面已无应力作用由于作用力与位移同向， 当裂纹长度延长 s 时，作用力对裂纹上表面所做的功为：121，其中 B 为平板的厚度 0( ,0) (, )2syrv srBdr按照 Griffith 能量释放的观点，裂纹长度延长 s 时，此裂纹端所释放的能量将等 于裂纹上下表面所做的功。

因此，按照 I 型裂纹能量释放率 GI的定义 :00( ,0) (, )2lim2sy Isrv srGBdrBs当 s→0 时，有[KI]a+s→ KI，经过积分得：21 8IIGK 简化后有：21I IKGE这就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式 其它裂纹情况也有类似结论应注意的是，实验结果指出，除 I 型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不 沿原方向扩展因此总能量释放率只是近似估计式如果要考虑裂纹真正的扩展方向来 计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出 裂纹。