高二数学苏教版选修22讲义：第3章 章末小结 知识整合与阶段检测 Word版含解析.doc

1．虚数单位i(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．2．复数的分类复数(z＝a＋bi，a，b∈R).3．共轭复数的性质设复数z的共轭复数为，则(1)z·＝|z|2＝||2；(2)z为实数⇔z＝，z为纯虚数⇔z＝－. 4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0(a，b∈R)⇔a＝b＝0.　注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2⇔对应点Z1，Z2重合⇔与重合．6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．(时间：120分钟，总分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.答案：－52．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.　答案：3＋4i3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部是.答案：4．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于________．解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，因为m，n∈R，所以所以即m＋ni＝2＋i.答案：2＋i5．定义运算＝ad－bc，则满足条件＝4＋2i的复数z为________．解析：＝zi＋z，设z＝x＋yi，∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，∴∴∴z＝3－i.答案：3－i6．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．解析：＝＝＝－i，对应的点位于第四象限．答案：四7.＝________.解析：＝＝＝1－38i.答案：1－38i8．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．解析：∵＋＝＋＝＋i是实数，∴＝0，即a＝1.答案：19．复数z满足方程＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．解析：＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.设－1＋i对应的点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________.解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，∴z＝＝－4i.答案：－4i11．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴|z|－＝－(a－bi)＝－a＋bi，＝＝＝2＋4i，∴解得∴z＝3＋4i.答案：3＋4i12．若＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，则＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，所以＝－＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i.答案：－5－4i13．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根，则纯虚数m的值是________．解析：方程有实根，不妨设其一根为x0，设m＝ai代入方程得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，化简得，(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0，∴解得a＝，∴m＝i.答案：i二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)；(2).解：(1)＝＝＝2.(2)＝＝＝＝＝－＋i.16．(本小题满分14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，∴k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当时，z是纯虚数，∴k＝4.(4)当时，z＝0，解得k＝－1.综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.当k≠6且k≠－1时，z是虚数．当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，得－1－3i＋a＋bi＝0，则所以所以z＝－4＋3i.则＝＝＝3＋4i.18．(本小题满分16分)已知ω＝－＋i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝ω，求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)ω2＝2＝－i－＝－－i.ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0，∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1)＝0，k∈Z.∴Sn＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝∴Sn ＝19．(本小题满分16分)已知z＝(a∈R且a＞0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．解：把z＝(a＞0)代入ω中，得ω＝＝＋i.由－＝，得a2＝4.又a＞0，所以a＝2.所以|ω|＝|＋3i|＝.20．(本小题满分16分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.即△ABC的面积为1.。