论文数学分析中证明不等式的若干方法(2).doc

论文数学分析中证明不等式的若干方法(2)数学分析中证明不等式的若干方法 摘 要：本文主要应用数学分析中的函数的单调性，微分中值定理，Taylor公 式，凸（或凹）函数的定义，函数的极值，单调极限以及被积函数不等式，在不等式两端取变限积分等的相关知识来证明不等式，同时也通过应用一些著名的不等式证明其他不等式通过以上方法的应用使我们能对不等式的一些证明方法有一定的了解，并通过这些方法的应用来加深对这些证明方法中所包含的相关知识进行梳理和加深理解，同时也对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解不等式在其他数学分支中有着广泛应用，因此了解不等式相关证明方法从而也为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具 关键词：数学分析 不等式证明 若干方法 The mathematical analysis of several methods to testify inequality Abstract: In this paper, Monotonicity, differential mid-value theorem, Taylor formula, convex function is defined, extremum, limit and integral related knowledge to testify inequality,also through the application of some famous inequation inequality.Through the above application of this method enables us to some of the proof of inequation method have certain knowledge,and through these methods applied to deepen our understanding of these proofs contain knowledge review and deepen our understanding of inequation, simultaneously to the relevant knowledge more profound understanding of the system.Inequality in other branches of mathematics has been widely used, so understanding inequalities related proof method and also for the math in many other content of study provides an important tool. Key words：Mathematical analysis Inequality proof Several methods 1引言 证明不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。

在数学领域中占有重要的地位，不仅是高中，大学阶段数学教材的重要内容，而且也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试，竞赛以及其它的领域中都有举足轻重的地位不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多通过不等式的证明，不仅可以检验我们对基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量一个人数学水平的一个重要标志因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十 1 分重要也是十分必要的它不仅能反映一个人的数学素养，还能帮助我们解决生活中其他领域的相关难题下面将数学分析中对不等式的证明方法进行简要总结 2利用单调性证明不等式 利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法，同时又是一种行之有效的方法，也是一种十分常见的方法，该种方法被广泛应用利用函数的单调性来证明不等式其中最关键的是要从所要证明的不等式出发，通过相关的知识的应用来构造出相关的辅助函数，并通过所构造的辅助函数的单调性在已知的相关条件下来得到不等式，最终来证明所要证明的不等式成立 要点[2][5]:若f?(x)?0（或f?(x)?0），则当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)（或反之，若f?(x)?0（或f?(x)?0），则当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)） （或f(x1)?f(x2)）。

由此便可获得不等式 a?b例2.1 证明： 1?a?b 证明：记f(x)??a1?a?1?bb 1x1?0，则f?(x)?，所以在定义f(x)?21?x1?x(1?x)域内单调递增函数又由于a?b?a?b可知 a?b1?a?b?a?b1?a?b?a1?a?b?1?a?b?ba1?a?1?bb a?b即 1?a?b?a1?a?1?b， 故原不等式得证 lnalnb ?abb例2.2 设b?a?e，证明：ab?ba 分析：要证ab?ba，只需证blna?alnb,也即证证明：记f(x)?x1?lnx，则f?(x)?，所以当x?e时，f?(x)?0；即2lnxxxlnalnb在时是单调减函x?e数又由于b?a?e，所以 f(x)??lnxab，即证ab?ba，所以原不等式得证 3利用微分中值定理证明不等式 用微分中值定理所包含的内容较多，即罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理等，用这些定理来证明不等式成立，其中最重要的就是要熟记各个中值定理 2 的应用条件，这一点十分重要，并将原不等式通过一系列的变形找到一个辅助函数，使这个辅助函数满足某个中值定理的条件，并应用中值定理的公式来证明相关的不等式。

在微分中值定理证明不等式中证明的关键是处理好?点，也就是要找到特殊的?点，在该点处取值恰好能证明原不等式成立，在此过程中要利用分析函数或其导数在该点的性质，通过相关的性质来证明并得到所要证明的结论 要点[4]：如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在 (a,b)内至少存在一点?，使得f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)由此可得(1)当 f(a)?0，在(a,b)内当f?(x)?0时，有f(x)?0 (?x?(a,b]) (2)在上述条件 下，有 f(b)?f(a)?f?(?),其中a???b因此，若f?(x)单调递减，有 b?af(b)?f(a)f?(a)??f?(b)以上原理在证明不等式时经常采用 b?a例3.1 设0?x1,x2??，p,q是正整数，p?q?1，证明： psinx1?qsinx2?sin(px1?qx2) 证明：当x1?x2时，不等式两边都等于sinx1，因而等号成立 设x1?x2，为确定起见，我们设x1?x2，记x3?px1?qx2，由于p?q?1，故x3?x1?q(x2?x1)?x1同理可证 x3?x2。

将原不等式改写为 psinx1?qsinx2?(p?q)sinx3，即 q(sx2i?snxi3)n?p(sx3i?snxi1)n令 f(x)?qsix,gn(x)?psixn，则 f?(x)?qcox,gs?(x)?pcoxs 根据微分中值定理得： q(sinx2?sinx3)?qcos?1?(x2?x3)?qcos?1?(x2?px1?qx2) =pq(x2?x1)cos?1; p(sinx3?sinx1)?pcos?2?(x3?x1)?pcos?2?(px1?qx2?x1) ?pq(x2?x1)cos?2 其中0?x1??2?x3??1?x2??，因而我们有 cos?1?cos?2所以原不等式psinx1?qsinx2?sin(px1?qx2)得证 3 4利用Taylor公式证明不等式 应用Taylor公式证明不等式我们要求函数f(x)的二阶和二阶以上的导数存在并且有界，然后依据f(x)的情形，使其按照Taylor公式展开，然后根据已知条件来进行证明不等式。

应用Taylor公式证明不等式的证题思路主要是（1）写出比最高阶低一阶的Taylor展开式；（2）恰当的选择等式两边的x与x0；（3）根据最高阶导数的大小或有界对展开式进行相关的放缩但是在利用Taylor公式证明不等式时有时需要将Taylor公式结合其它知识一起使用，例如当所要证明的不等式中含有积分号时一般结合定积分的知识来进行证明；当所要证明的不等式含有多项式和初等函数的混合式时，可以作一个辅助函数并用Taylor公式展开，这样往往证明比较简洁方便Taylor公式巧妙，合理，灵活的应用，可以解决一些其它方法较难解决的问题 要点 f?(a)??f[6]：若f(x)在[a,b]上有连续 （n）n阶导数，则 (n?1)(a)?0,ff(n)(?)(x)?0(当x?(a,b)时)则f(x)?(x?a)n?0(当x?(a,b]时)n!利用此原理，可以对一些不等式进行证明 tanxx?例4.1 证明：?,?x?(0,) xsinx2证明：原式等价于f(x)?sinx?tanx?x2?0，因为f?(0)?f??(0)?0， f???(x)?sinx(5sec2x?1)?bsin3xsec4x?0，所以f(x)?sinx?tanx?x2?0 ?tanxx?(当x?(0,)时)。

故?,?x?(0,) 2xsinx2例4.2 设f(x)在[a,b]上二次可微，f??(x)?0.试证明： ?a?x1???xn?b,ki?0,?ki?1有f(?kixi)??kif(xi) i?1i?1i?1nnn证明：取 x0??kixi,将f(xi)在x?x0处展开i?1nf(xi)?f(x0)?f?(x0)(xi?x0)?1f??(?i)(xi?x0)2?f(x0)?f?(x0)(xi?x0)(i?1,2,?,n)2n 以ki乘此式两端，然后n个不等式相加，又由于?ki?1，所以有 i?14 ?k(xii?1nni所以原不?x0)??kixi?x0?0,所以?kif(xi)?f(x0)?f(?kixi) i?1i?1i?1nnnnn等式f(?kixi)??kif(xi)在?a?x1???xn?b,ki?0,?ki?1时即得证 i?1i?1i?1 5利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式 函数的凸（凹}性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态，不仅可以科学，准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数的定性分析凸（凹）函数是一类重要的函数，凸（凹）函数在不等式证明的研究中尤为重要。

利用函数的凸凹性来对不等式进行证明也是一种十分常见且十分重要的方法，对一些复杂不等式的作用十分明显利用函数的凸凹性来对不等式进行证明首要是找到辅助函数f(x)，利用辅助函数f(x)在区间?a,b?上的二阶导数来判定f(x)的凸凹性，然后根据凸函数（或凹函数）的相关性质来对一些不等式进行证明用凸（或凹）函数的定义来证明不等式此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁 要点[7]：若f??(x)?0，则函数f(x)为凸函数即?x1,x2??。