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§7，，1 空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离空间直角坐标系坐标面、 卦限、点的坐标距离公式一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标O 过 空 间 一 个 定 点O ， 作 三 条 互 相 垂 直的 数 轴 ， 它 们 都 以O 为 原 点 且 一 般 具 有相 同 的 长 度 单 位 ． 它们 的 正 向 通 常 符 合 右手 规 则 ． 这 样 的 三 条坐 标 轴 就 组 成 了 一 个空间直角坐标系空间直角坐标系． y轴(纵轴) z轴(竖轴)(坐标)原点 x轴(横轴) x 1 y 1 z 1拇指方向四指转向右手规则 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.坐标面：O z y x O z y x 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.坐标面：O z y x 第一卦限卦 限： 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限．O z y x 第二卦限卦 限：第三卦限O z y x 卦 限：O z y x 第四卦限卦 限：O z y x 第五卦限卦 限：O z y x 第六卦限卦 限：O z y x 第七卦限卦 限：O z y x 第八卦限卦 限：点的坐标： 设 M 为空间一已知点．过点 M 作三个平面分别垂直于 x轴 、y 轴 和 z 轴，三个平面在 x 轴 、y 轴 和 z 轴的交点依次为P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z，我 们称这组数为点点M的的 坐坐标标，并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、 z 的点M 记为M(x，y，z)．O x y z PRx z yMQO x y z 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．M 1M 2PQx 2x 1与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， y 2 y 1O x y z M 1M 2PQ二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．z 2z 1O x y z M 1M 2PQ与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．因为 | M1M2 | 2= | M1Q | 2 + | M2Q | 2= | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．O x y z M 1M 2PQd  | M1M2 | 所以与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面． 特殊地，点M (x，y，z )与原点O(0，0，0)的距离为d| OM | 例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 | M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214， | M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26，所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角形．． 例2 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点． 解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有 |MA| 2|MB| 2，即 (04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2．解之得。