2007年数学二考研试题和答案.doc

—1—2007 年研究生入学考试数学二试题一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当 时，与 等价的无穷小量是0xx（A） （B ） （C） （D） [ ]e1ln1x1cosx（2）函数 在 上的第一类间断点是 （ 1()ta)exf,）（A）0 （B）1 （C） （D）22（3）如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下半()yfx3,,圆周，在区间 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设2,0，则下列结论正确的是：0()()dxFft（A） (B) 3()(2)4F5(3)(2)4F（C） （D） [ ]（4）设函数 在 处连续，下列命题错误的是：()fx0（A）若 存在，则 （B）若 存在，则 .0limx()0f0()limxfx(0)f（B）若 存在，则 （D）若 存在，则 .()f [ ]—2—（5）曲线 的渐近线的条数为1lnexy（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]（6）设函数 在 上具有二阶导数，且 ，令 ，则下列结论()f0,)()0fx()nuf正确的是： (A) 若 ，则 必收敛 . (B) 若 ，则 必发散 12unu12un(C) 若 ，则 必收敛 . (D) 若 ，则 必发散. [ ]u（7）二元函数 在点 处可微的一个充要条件是(,)fxy0,（A） .(,)0,lim()xyf（B） .0 0,(,)(,0)li ,limx yf ff且（C） .2(,)0,()(,)lixyffx（D） .0 0lim,)(0,),li(,)(0,)xx yyffff 且（8）设函数 连续，则二次积分 等于(y1sin2ddx（A） （B）10arcsind,)dyfx 0arcsin(,)dyfx（C） （D）2( 12（9）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是13,线性相关，则(A) (B) 1231,,1231,,(C) . (D) . [ ]22（10）设矩阵 ，则 与 01,12ABAB(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似 .(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]二、填空题：11～16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（11） __________.30arctnsilimxx—3—（12）曲线 上对应于 的点处的法线斜率为 _________.2cos1inxtty4t（13）设函数 ，则 ________.3x()0ny（14） 二阶常系数非齐次微分方程 的通解为 ________.23exyy（15） 设 是二元可微函数， ，则 __________.(,)fuv,zfz（16）设矩阵 ，则 的秩为 . 01A3A三、解答题：17～24 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分 10 分)设 是区间 上单调、可导的函数，且满足)fx0,4，其中 是 的反函数，求 .()100cosinddf xttt1f()fx（18） （本题满分 11 分）设 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域.D2(,0)xay（Ⅰ）求区域 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；(Va（Ⅱ）当 为何值时， 最小？并求此最小值.a()V（19） （本题满分 10 分）求微分方程 满足初始条件 的特解2()yxy(1)y（20） （本题满分 11 分）已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方fu0f()yx程 所确定，设 ，求 .1eyxlnsizfyx200d,xxz（21） (本题满分 11 分)设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值，,(fgx,ab(,)ab，证明：存在 ，使得 .())fa()fg（22） (本题满分 11 分)—4—设二元函数 ，计算二重积分 ，22,||11(,) 2xyfxyxy D(,)dfxy其中 .,||D（23） (本题满分 11 分) 设线性方程组 与方程 有公共解，求 的值及12312304xax1231xaa所有公共解.—5—1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 时， ， ，0x1ex: 12x:，21cos:故用排除法可得正确选项为（B）.事实上， ，00 0111lnln()l(1)2imi limxx xxx  或 .1lnl()ln(1)()()()oxoxx :所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 1.54】 【例 1.55】.2…【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.【详解】函数在 均无意义，0,12x而 ；1 10000(e)tan(e)tanlim()li,lim()lix xx xf f ；11(e)tali()lixxf.122(e)tanlim()lixxxf所以 为函数 的第一类间断点，故应选（A）.0()f【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分—6—段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 1 讲【例 4】和【例 5】 ， 《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 1.49－1.51】3……【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得， ，2213(3)8F21()F.0220201()ddfxfxfx所以 ，故选（C）.33()4【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 5 讲【例 17】和【例 18】 ， 《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 3.39】 【例 3.40】.4……【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 去进行判()fx断，然后选择正确选项.【详解】取 ，则 ，但 在 不可导，故选（D）.()|fx0()lim0xfx()fx0事实上，在(A),(B) 两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得.(0)f在（C）中， 存在，则0()lixf，所以(C) 项正确，故选(D)0()(),()mlixfff【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 2 讲【例 2】 ，文登 07 考研模拟试题数学二第一套（2）.5……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】 ，11limlilne,limlilne0x xxx xxyy所以 是曲线的水平渐近线；0—7—，所以 是曲线的垂直渐近线；01limlilnexxxy0x，elln1e1lili imlixxxxx x，所以 是曲线的斜渐近线.1lilil0xxbyy故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意 当ex时的极限不同.,x类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 6 讲第 4 节【例 12】 ， 《数学复习指南》（理工类）第一篇【例 6.30】 ， 【例 6.31】.6……【分析】本题依据函数 的性质，判断数列 . 由于含有抽象函数，利()fx()nuf用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）.取 ， ， ，而()lnfx21()0fx1 2l0lu发散，则可排除（A ） ；lfn取 ， ， ，而 收敛，则可排除21()fx46()fx124u21()fn（B） ；取 ， ， ，而 发散，则可排除2()f()0f122()f（C） ；故选（D）.事实上，若 ，则 .12u11(2)()0uff对任意 ，因为 ，所以 ，1,xfx 1()0xfc对任意 ， .2 12()())fx故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 1 讲【例 24】 ， 《数学复习指南》 （理工类）第一篇【例 1.22】.—8—7…….【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.【详解】本题也可用排除法， （A ）是函数在 连续的定义；（B）是函数在 处偏0, 0,导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数 存在，但不能推导出两个(),0xyff一阶偏导函数 在点(0,0) 处连续，所以（A） （B） （D）均不能保证(,),xyff在点 处可微. 故应选（C）.(,)fy0事实上，由 可得2(,)0,()(0,)limxyffxy，即2200,(,)(,)(,0)lilix xffffx(0,),xf同理有 (,).yf从而 0[(0,)](,)(0,)limxyxfff = .220 0(,)(,)(,)(,)li limfyfffxy根据可微的判定条件可知函数 在点 处可微，故应选(C). (,)fy,【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 9 讲【例 3－例 5】 ， 《数学复习指南》（理工类）第一篇【例 8.11】.8,……【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知， ，则 ，,sin12xy01,arcsinyyx故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第。