实验指导书4无穷级数与微分方程.doc

119项目四项目四 无穷级数与微分方程无穷级数与微分方程实验实验 1 无穷级数无穷级数实验目的实验目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用 Mathematica 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令基本命令1. 求无穷和的命令 Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}] 则输出无穷级数的和为 命令 Sum 与数学中的求和号相当.. 6/22. 将函数展开为幂级数的命令 Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}] 它将展开成关于的幂级数. 幂级数的最高次幂为余项用表)(xf0xx ,)(0nxx 1 0)(nxx示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数          654433201201024106102100xoxyxyxyxyxyy 3. 去掉余项的命令 Normal 在将展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用)(xf Normal 命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%] 则输出765432 ]x[O! 6x ! 5x ! 4x ! 3x ! 2xx1! 6x 5x 4x ! 3x ! 2xx165432 4. 强制求值的命令 Evaluate 如果函数是用 Normal 命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题.例如,输入 fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}] 则只能输出去掉余项后的展开式6x 2xx132 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令 Evaluate, 改成输入Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形. 5. 作散点图的命令 ListPlot120ListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入 ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]] 则输出坐标为的散点图.}16,16{ ,},3 , 3{},2 , 2{},1 , 1{2222L 6. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入 Clear[g,gf]; g[x_]:=x/;0=1 则得到分段的周期函数  1x),2x(g1x0, x0x1, x )x(g再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}] 则输出函数的图形.)(xg注注:用 Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)” 来 定义周期性分段函数更方便些. 用 Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用 Mathematica 命 令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用 Which 定义的分段函数可以求导但不能积 分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和 UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数 UnitStep[x]可以用 Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分 段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函 数 UnitStep 的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例实验举例数项级数数项级数例例 1.1 (1) 观察级数的部分和序列的变化趋势.121nn(2) 观察级数的部分和序列的变化趋势.11nn输入 s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[data]; N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40] 则输出(1)中级数部分和的变化趋势图. 级数的近似值为 1.64493. 输入 s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}]; ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]]; 则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图.例例 1.2 画出级数的部分和分布图.111) 1(nn n输入命令 Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;121While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n; g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n], Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++]; Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True]; 则输出所给级数部分和的图形,从图中可观察到它收敛于 0.693 附近的一个数.例例 1.3 设 求.,!10 nann1nna输入 Clear[a]; a[n_]=10^n/(n!); vals=Table[a[n],{n,1,25}]; ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]] 则输出的散点图,从图中可观察的变化趋势. 输入nanaSum[a[n],{n,l,Infinity}] 则输出所求级数的和.求幂级数的收敛域求幂级数的收敛域例例 1.4 求的收敛域与和函数.021)3(4nnnnx输入 Clear[a]; a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1); stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify 则输出n2)x3)(n1 (16 再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity] 则输出)x3(16 这里对 a[n+1]和 a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于 1 时, 幂级数收敛; 大于 1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入 ydd=Solve[steptwo==1,x] zdd=Solve[steptwo==-1,x] 则输出 1647x1649x与由此可知,当时,级数收敛,当或时,级数发散. 1649 1647 x1647x1649x为了判断端点的敛散性, 输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)] 则输出右端点处幂级数的一般项为1n1 122因此,在端点处,级数发散. 再输入1649xSimplify[a[n]/.x->(47/16)] 则输出左端点处幂级数的一般项为1n) 1(n因此,在端点处, 级数收敛. 1647x也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}] 则输出)x3(16)]x3(161 [Log 函数的幂级数展开函数的幂级数展开例例 1.5 求的 6 阶麦克劳林展开式.xcos输入Series[Cos[x],{x,0,6}] 则输出7642 ]x[ o720x 24x 2x1注注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例例 1.6 求在处的 6 阶泰勒展开式.xln1x 输入Series[Log[x],{x,1,6}] 则输出.]x[ o6) 1x( 5) 1x( 4) 1x( 3) 1x( 2) 1x() 1x(765432 例例 1.7 求的 5 阶泰勒展开式.xarctan 输入 serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}]; Poly=Normal[serl] 则输出的近似多项式xarctan5x 3xx53 通过作图把和它的近似多项式进行比较. 输入xarctan Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2}, PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l] 则输出所作图形, 图中虚线为函数,实线为它的近似多项式.xarctan傅里叶级数傅里叶级数 例例 1.8 设是以为周期的周期函数,它在的表达式是)(xg2,  xxxg0, 10, 1)(123将展开成傅里叶级数.)(xg输入 Clear[g]; g[x_]:=-1/;-Pi{RGBColor[0,1,0]}];则输出的图形 (图 1-1).)(xg-2.52.557.51012.515-1-0.50.51图图 1-1因为是奇函数, 所以它的傅里叶展开式中只含正弦项. 输入)(xg b2[n_]:=b2[n]=2 Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi; fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}]; tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]}, {x,-Pi,5 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];(*tu[n]是以 n 为参数的作图命令*) tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2 是用 Table 命令作出的 6 个图形的集合*) toshow=Partition[tu2,2];(*Partition 是对集合 tu2 作分割, 2 为分割的参数*) Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray 是把图形排列的命令*) 则输出 6 个排列着的图形,每两个图形排成一行. 可以看到越大, 的傅里叶级数的前n)(xg项和与越接近.n)(xg实验习题实验习题 1.求下列级数的和:(1) (2) (3) (4);21kkk;) 12(112kk;)2(112kk.) 1(11kkk2. 求幂级数的收敛域与和函数.012)5() 1(nnnx3. 求函数的 6 阶麦克劳林多项式.)1ln()1 (xx4. 求的 6 阶麦克劳林多项式.xarcsin5. 设,求的 5 阶和 10 阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的1)(2xxxf)(xf图形作在一个坐标系内.1246. 设在一个周期内的表达式为, 将它展开为傅里叶级)(xf 21 211)(2xxxf数(取 6 项), 并作图.7. 设在一个周期内的表达式为, 将它展开为傅里叶级数)(xf  21,210, 1)(xxxxf(取 8 项), 并作图.8. 求级数的和的近似值.1sinkkk实验实验 2 微分方程微分方程实验目的实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令基本命令1. 求微分方程的解的命令 DSolve 对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用 Dsolve 命令来求其通解或特解. 例如,求方程的通解, 输入023 yyyDSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x] 则输出含有两个任意常数 C[1]和 C[2]的通解:]2[Ce] 1 [Ce]x[ yxx2 注注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 。