031第三章第18节微分方程模型.ppt

第三章第三章 微分方程模型微分方程模型 §§1  微分方程的简单应用微分方程的简单应用 2一、物体在液面上的浮沉振动问题一、物体在液面上的浮沉振动问题         问题：问题：一个边长为一个边长为3米的立方体浮于水面上，米的立方体浮于水面上，已知立方体上下振动的周期为已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉秒，试求物体沉浮振动的规律和质量浮振动的规律和质量         问题的分析：设水的密度为问题的分析：设水的密度为1000kg／／    ，当，当物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中的那部分同体积的水的重量的那部分同体积的水的重量                  设物体的质量为设物体的质量为m，物体在，物体在t时刻相对于静止时刻相对于静止位置的位移为位置的位移为x，即，即x＝＝x(t),由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：由阿基米德原理知，引起振动的浮力为： x××3××3××1000g＝＝9000gx (N)3由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 其中其中g＝＝9.8m／／    。

方程方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型就是物体沉浮振动的数学模型易得方程易得方程(1-4)的通解为的通解为 于是周期为于是周期为解得解得4二、液体的浓度稀释问题二、液体的浓度稀释问题           问题：有两只桶内各装问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为加仑的盐水，其浓度为0.5磅盐／加仑现用管子将净水以磅盐／加仑现用管子将净水以2加仑／分钟的速加仑／分钟的速度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子以以2加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混加仑／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用管子以合液搅拌均匀，然后用管子以1加仑／分钟的速度输加仑／分钟的速度输出，问在出，问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？ 解：解：  分别表示分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量，时刻第一只和第二只桶内盐的数量，单位为磅，单位为磅， 5第一只桶在第一只桶在t到到t＋＋     内盐的改变量为内盐的改变量为第二只桶在第二只桶在t到到t＋＋    内盐的改变量内盐的改变量 6 解一阶线性微分方程得解一阶线性微分方程得所以所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为（磅盐／加仑）（磅盐／加仑） 7§§2 铅球掷远的数学模型铅球掷远的数学模型       问题、设铅球初始速度为问题、设铅球初始速度为V,出手高度为出手高度为h，出，出手角度为手角度为     （与地面的夹角），建立投掷距离与（与地面的夹角），建立投掷距离与V、、h、、     的关系式，并在的关系式，并在V、、h一定的条件下求最一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。

佳出手角度和最远距离 模型模型1——抛射模型抛射模型         在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响和投掷角度对铅球的影响 假设：假设： 1、铅球被看成一个质点铅球被看成一个质点 2、铅球运动过程中的空气阻力不计铅球运动过程中的空气阻力不计 83、投掷角和初速度是相互独立的投掷角和初速度是相互独立的 4、设铅球的质量为、设铅球的质量为m，，建立坐标系如图建立坐标系如图         在在t时刻，铅球的位置在时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学点，则由力学定律知，铅球运动的两个微分方程是：定律知，铅球运动的两个微分方程是： 9解之得解之得所以铅球的运动轨迹为所以铅球的运动轨迹为 令令y=0 ，铅球落地的距离为，铅球落地的距离为           它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投掷模型10由（由（2-1），关系式（），关系式（2-2）可表示为）可表示为 得最佳出手角度为得最佳出手角度为 投掷的最远距离投掷的最远距离 设设h=1.5米，米，v=10米米/秒秒 ，则，则 11模型模型2——铅球投掷模型铅球投掷模型下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。

下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型 关于铅球的投掷过程我们假设：关于铅球的投掷过程我们假设：        1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度一个水平的初速度               2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间铅球出手有一段时间               3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角是不变的，力的方向与铅球的出手角度度      相同         用这三个假设代替模型用这三个假设代替模型1中的假设中的假设3来进一步组来进一步组建铅球的投掷模型建铅球的投掷模型 12         模型模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况，很好地描述了铅球出手以后的运动状况，因此模型因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。

     若记若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标则根据牛顿第二运动定理，由假铅垂方向的坐标则根据牛顿第二运动定理，由假设设3我们有我们有式中式中m为铅球的质量，为铅球的质量，F是对铅球的推力，是对铅球的推力，   为力的为力的方向既铅球的出手角度方向既铅球的出手角度            根据假设根据假设2，令，令t=0时运动员开始用力推球，时运动员开始用力推球，         时铅球出手，在区间时铅球出手，在区间              上积分（上积分（2-3）可得）可得13其中其中          分别是分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度时铅球的水平与垂直的初速度 由假设由假设1，有，有 于是我们得到于是我们得到由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度14式中式中      是推铅球时力的作用时间是推铅球时力的作用时间 将将(2-4)与与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型合并就得到了铅球掷远的数学模型15      分析出手速度模型分析出手速度模型(2-4)，不难看出，不难看出v随着随着F和和    的增加而增大，显然的增加而增大，显然v随着随着       的增加而增大。

这的增加而增大这与我们的常识也是一致的由于与我们的常识也是一致的由于              ，由，由(2-4)式还可以看出式还可以看出v将随着将随着         的增加而减少因此，的增加而减少因此，当推力当推力F和作用时间和作用时间       不变时，运动员要提高铅不变时，运动员要提高铅球的出手角度球的出手角度        ，就必须以降低出手速度为代价，，就必须以降低出手速度为代价，所以对于铅球投掷来说，模型所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的所给出的“最佳出最佳出手角度手角度”不一定是最佳的不一定是最佳的 16     进一步分析铅球投掷模型进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球，我们还可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出所给出的最佳角度对模型的最佳角度对模型2还可以给出类似于模型还可以给出类似于模型1的全部的全部分析，这些我们留给读者去完成分析，这些我们留给读者去完成思考题：思考题：1、建立跳高的数学模型建立跳高的数学模型 17§§3 减肥的数学模型减肥的数学模型问题：如何建立减肥的数学模型？问题：如何建立减肥的数学模型？ 问题分析：问题分析： “肥者肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至从某种意义下说就是脂肪过多以至超过标准，数学建模就要由此入手。

超过标准，数学建模就要由此入手 模型假设：模型假设：       (1)设某人每天从食物中摄取的热量是设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其焦耳，其中中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体焦耳的热量，从事体育锻炼每千克体重消耗育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量焦耳的热量       (2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有效，而效，而1千克脂肪含热量是千克脂肪含热量是42000焦耳18(3)设体重设体重W是时间是时间t的连续可微函数，即的连续可微函数，即W＝＝W(t) 数学建模：数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出每天：体重的变化＝输入－输出输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量 输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量于是每天净吸收量＝于是每天净吸收量＝ 每天净输出量＝每天净输出量＝ 所以在所以在t到到t＋＋     t 时间内体重的变化：时间内体重的变化： 19体重变化的数学模型：体重变化的数学模型： 应用分离变量法，解方程应用分离变量法，解方程(3-1)得得 利用初始条件得利用初始条件得从而得从而得 20对对(3-3)式求导得式求导得由由(3-1)、、(3-3)及及(3-4)可以对减（增）肥分析如下：可以对减（增）肥分析如下：     １、若１、若a－－b>                  ，即净吸收大于总消耗，，即净吸收大于总消耗，      >0，，则体重增加。

则体重增加     ２、若２、若a－－b<                 ，即净吸收小于总消耗，，即净吸收小于总消耗，        <0，，则体重减少则体重减少   ３、若３、若a－－b＝＝                  ，即净吸收等于总消耗，，即净吸收等于总消耗，    =0  ，，则体重不变则体重不变  ４、当４、当t→＋＋∞时，由时，由(3-3)式知式知21         这表明只要适当控制这表明只要适当控制a（进食）、（进食）、b（新陈代谢）（新陈代谢）、、   （工作、生活）、（工作、生活）、    （体育锻炼），要使体重（体育锻炼），要使体重等于多少是等于多少是“可能可能”的的.         正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯，即要适当控制工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、、α＋＋β对于少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的的改变也是必要的 22思考题思考题：：       某人每天由饮食获取某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中焦耳的热量，其中5040焦耳用于新陈代谢。

此外每千克体重需支付焦耳用于新陈代谢此外每千克体重需支付67.2焦耳热量作为运动消耗其余热量则转化为脂焦耳热量作为运动消耗其余热量则转化为脂肪已知脂肪形式储存的热量利用率为肪已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问，问此人的体重如何随时间变化？此人的体重如何随时间变化？ 23§§4  追踪问题的数学模型追踪问题的数学模型问题：我辑私舰雷达发现距问题：我辑私舰雷达发现距d海里处有一艘走私船正海里处有一艘走私船正以匀速以匀速        沿直线行驶，辑私舰立即以最大的速度沿直线行驶，辑私舰立即以最大的速度        （匀速）追赶若用雷达进行跟踪，保持舰的瞬时（匀速）追赶若用雷达进行跟踪，保持舰的瞬时速度方向始终指向走私船，试求辑私舰的运动轨迹速度方向始终指向走私船，试求辑私舰的运动轨迹及追上的时间及追上的时间24§§5 万有引力定律的发现万有引力定律的发现历史背景：历史背景： 开普勒三定律：开普勒三定律：       １、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太１、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上       ２、每颗行星运行过程中单位时间内太阳２、每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过的面积是常数。

行星向径扫过的面积是常数      ３、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道３、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的长半轴的3次方成正比次方成正比 25模型假设模型假设       开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假设条件      对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标系系(r,θ)，以太阳为坐标原点，以太阳为坐标原点r＝＝0，以椭圆长半轴，以椭圆长半轴方向为方向为θ＝＝0，用向量，用向量      表示行星位置，如图表示行星位置，如图 26(1)轨道方程为轨道方程为其中其中 a、、b为椭圆的长、短半轴，为椭圆的长、短半轴，e为离心率为离心率 (2)单位时间内向径单位时间内向径     扫过的面积是常数，即扫过的面积是常数，即 (3)行星运行周期行星运行周期T满足满足 其中其中λ是绝对常数，与哪一颗行星无关是绝对常数，与哪一颗行星无关        (4)行星运动时受的作用力等于行星加速度行星运动时受的作用力等于行星加速度       和质量和质量m的乘积，即的乘积，即 27模型建立模型建立首先引入基向量（如图）首先引入基向量（如图） 向径向径     可表示为可表示为由由(5-5)式可以算出式可以算出 28所以由所以由(5-6),(5-7)式得到行星运动的速度和加速度为式得到行星运动的速度和加速度为根据根据(5-2)式可得式可得于是于是 (5-9)式右端第二项式右端第二项 (5-9)式化为式化为 对对(5-1)式求导并利用式求导并利用(5-10)式式     的结果得的结果得 29将将(5-10)和和(5-13)代入代入(5-11)式得式得 最后把最后把(5-14)和和(5-6)代入代入(5-4)式得式得 这里这里      是单位向径，指示向径方向。

是单位向径，指示向径方向 (5-15)式表明：式表明：       (1)行星运动时受的力的方向与它的向径方向行星运动时受的力的方向与它的向径方向相反，即在太阳相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；行星连线方向，指向太阳； 30       （（2）力的大小与行星质量）力的大小与行星质量m成正比，与太阳成正比，与太阳—行星距离行星距离r的平方成反比，为太阳对行星的引力的平方成反比，为太阳对行星的引力        为了完成万有引力的推导，只需证明为了完成万有引力的推导，只需证明(5-15)式式中的中的      是绝对常数，即它与哪一颗行星无关（是绝对常数，即它与哪一颗行星无关（A和和    不是绝对常数）不是绝对常数）                 因为因为A是单位时间内向径扫过的面积，行星运是单位时间内向径扫过的面积，行星运动一个周期动一个周期T向径扫过的面积恰是以向径扫过的面积恰是以a,b为长、短半为长、短半轴的椭圆面积，所以轴的椭圆面积，所以由由(5-1),(5-3),(5-16)式容易算出式容易算出和和      是绝对常数是绝对常数 31将将(5-17)代入代入(5-15)式有式有(5-18)式表明：式表明：          太阳对行星的作用力的大小除了与行星质量太阳对行星的作用力的大小除了与行星质量m成正比，与相互距离的平方成反比以外，余下的因成正比，与相互距离的平方成反比以外，余下的因子子        就只与太阳本身有关了。

就只与太阳本身有关了        查询太阳质量查询太阳质量M、地球运行轨道（椭圆）的长半、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据可得轴、引力常数等数据可得k为万有引力常数，为万有引力常数，M为太阳质量为太阳质量 32所以所以(5-18)式可写为式可写为—这就是我们熟知的形式这就是我们熟知的形式         评注：评注：      从发现万有引力定律的过程中可以看出，在从发现万有引力定律的过程中可以看出，在正确假设的基础上运用数学演绎方法建模，对自正确假设的基础上运用数学演绎方法建模，对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用，虽然我然科学的发展能够发挥多么巨大的作用，虽然我们大多数人发明不了什么定律，但是学习前辈如们大多数人发明不了什么定律，但是学习前辈如何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题的能力是大有好处的能力是大有好处33§7 核废料的处理问题核废料的处理问题背景：背景：     问题：将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到问题：将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到水深水深91米的海底，这个方案是否可行？米的海底，这个方案是否可行？ 已知数据及实验结果：已知数据及实验结果：      1、桶的重量、桶的重量 W=239.456kg      2、海水的浮力为、海水的浮力为1025.94kg/      3、圆桶的体积、圆桶的体积 V=0.208m      4、桶下沉时的阻力与速度成正比，比例系、桶下沉时的阻力与速度成正比，比例系数数 k=0.12      5、当桶以、当桶以12.2米米/秒与海底碰撞时，桶将会秒与海底碰撞时，桶将会破裂。

破裂 34问题的解决：问题的解决： 取坐标系如图取坐标系如图 设设y(t)表示桶在表示桶在t时刻下沉的深度，时刻下沉的深度， 我们要知道在我们要知道在91米深速度是否大于米深速度是否大于12.2米 当桶下沉时，有三个力作用在它上面：当桶下沉时，有三个力作用在它上面： 桶重力桶重力 W=239.456kg浮力浮力  B=1025.94V=213.396kg桶下沉时阻力桶下沉时阻力 D=kv=0.12v=0.12 即合力即合力  F=W-B-D=W-B-kv由牛顿第二定律由牛顿第二定律 F=ma 得：得： W-B-kv=ma 35即有即有 此微分方程可看作此微分方程可看作                   类型类型.由于由于v=           ,则则                代入上方程得代入上方程得解得解得36        至此至此,数学问题似乎有了结果数学问题似乎有了结果,得到了速度与时得到了速度与时间的表达式间的表达式.但实际问题远没有解决但实际问题远没有解决.因为圆桶到达因为圆桶到达海底所需的时间海底所需的时间 t并不知道并不知道,因而也就无法算出速因而也就无法算出速度度.这样这样,上述的表达式就没有实际意义。

上述的表达式就没有实际意义        有人会说有人会说,虽然无法算出精确值但我们可以估虽然无法算出精确值但我们可以估计当计当t           时，时，v(t)             只要           不超过不超过12.2米米/秒，方案就可行；秒，方案就可行；       但可惜但可惜          =217.2米米/秒，它太大了，问题秒，它太大了，问题仍没有解决仍没有解决 而方程而方程(7-1)又可看作又可看作                      类型，类型， 方程方程(1)也可化为一个一阶可分离变量的微分方程也可化为一个一阶可分离变量的微分方程37解之得解之得由初始条件得由初始条件得所以所以 当当 y=91米时，如何求速度米时，如何求速度v  ?38下面用牛顿切线法求出速度下面用牛顿切线法求出速度v的近似值的近似值 牛顿法介绍：牛顿法介绍： 若已知方程若已知方程g(v)=0,求求v的近似值的迭代格式为：的近似值的迭代格式为： 在这里，在这里，(7-3)式可写成式可写成 其中其中 a=9.8m /       39于是于是迭代格式为迭代格式为 40只要选择一个好的初始值只要选择一个好的初始值       ，就能很快算出结果。

就能很快算出结果 求求     的粗略近似值：的粗略近似值： 从从(7-2)中令中令k=0（即下沉时不记阻力）得（即下沉时不记阻力）得 由初始条件得由初始条件得C=0 , 以以     =13.93代入代入(7-4)得得 41因此这种处理核废料的方案是不可行的因此这种处理核废料的方案是不可行的.         这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方案是错误的理核废料的方案是错误的,从而改变了美国政府过去的从而改变了美国政府过去的错误的做法错误的做法,现在美国原子能委员会条例明确禁止把低现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里浓度的放射性废物抛到海里,并在一些废弃的煤矿中修并在一些废弃的煤矿中修建置核废料的深井建置核废料的深井.这一模型为全世界其他国家处理核这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训废料提供了经验教训,我国政府决定在甘肃广西等地修我国政府决定在甘肃广西等地修建三个深井放置核废料建三个深井放置核废料,防止放射性污染防止放射性污染. 42§§8 传染病传播的数学模型传染病传播的数学模型模型一：最简单的情况模型一：最简单的情况假设：假设： (1)每个病人在单位时间内传染的人数是常数每个病人在单位时间内传染的人数是常数       ；； (2)一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡。

一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡 记记       表示表示t时刻病人数，时刻病人数， 表示每个病人单位时间内传染人数，表示每个病人单位时间内传染人数，  ，，即最初有即最初有     个传染病人个传染病人 则在则在t到到t＋＋   t时间内增加的病人数为时间内增加的病人数为 43于是得微分方程于是得微分方程其解为其解为 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的 这个结果与传染病传播初期比较吻合这个结果与传染病传播初期比较吻合         但由但由(8-1)的解可以推出，当的解可以推出，当t→+∞时，时，  →+∞，这显然是不符合实际情况的，问题在于，这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设均不合理两条假设均不合理 44模型二：模型二：         用用                 表示表示t时刻传染病人数和未时刻传染病人数和未被传染的人数，被传染的人数，                ；；  假设：假设：        (1)每个病人单位时间内传染的人数与这时未每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即被传染的人数成正比，即 (2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡；一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡； (3)总人数为总人数为n，即，即                            ；；  由以上假设得微分方程由以上假设得微分方程45用分离变量法得其解为用分离变量法得其解为 其图形如图其图形如图          模型模型(8-2)可以用来预报传染较快的疾病前可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。

期传染病高峰到来的时间 由由(8-3)式可得式可得46其图形如图其图形如图           医学上称医学上称              为传染病曲线（它表示为传染病曲线（它表示传染病人增加率与时间的关系）传染病人增加率与时间的关系） 47得极大值点：得极大值点： 由此可知由此可知       1)当传染病强度当传染病强度k或总人数或总人数n增加时，增加时，    都将变小，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合       2)如果知道了传染强度如果知道了传染强度k（（k由统计数据得出），由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间即可预报传染病高峰到来的时间     ，这对于防治，这对于防治传染病是有益处的传染病是有益处的 48模型二的缺点是：模型二的缺点是：           当当t→∞时，由时，由(8-3)式可知式可知         →n，即最，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况造后人人都要生病，这显然是不符合实际情况造成的原因是假设成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈中假设了人得病后经久不愈           为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得病后有的会死模型再进一步修改，这就要考虑人得病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。

还要考虑人得了传染病由于其中一部分会被隔离还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈为此作出新的假设，建立新样人得病后经久不愈为此作出新的假设，建立新的模型 49模型三：模型三：         在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简化设患过传染杂得多的因素，但仍要把问题简化设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者在这种情况下把人患了病之后立即成为传染者在这种情况下把居民分成三类：居民分成三类：        第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用者组成的，用I(t)表示表示t时刻第一类人的人数时刻第一类人的人数      第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用者的那些人组成的，用S(t)表示表示t时刻第二类人的人时刻第二类人的人数。

数50       第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用离起来的人，用R(t)表示表示t时刻第三类人的人数时刻第三类人的人数 假设疾病传染服从下列法则：假设疾病传染服从下列法则：        (1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、迁出情况迁出情况      (2)易受传染者人数易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人的变化率正比于第一类人的人数的人数I(t)与第二类人的人数与第二类人的人数S(t)的乘积    (3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比的人数成正比  由此得下关系式由此得下关系式51其中其中α、、β为两比例常数，为两比例常数，α为传染率，为传染率，β为排除率为排除率由由(8-6)的三个方程相加得的三个方程相加得又又          S(t)＋＋I(t)＋＋R(t)＝＝N （常数）（常数）所以所以        R(t)＝＝N－－S(t)－－I(t)由此知，只要知道了由此知，只要知道了S(t)和和I(t)，即可求出，即可求出R(t)。

52 由由(8-6)中第一、三两式得中第一、三两式得 由此推出由此推出所以所以当当t＝＝t时  I(t)＝＝I)＝＝S 53下面我们讨论积分曲线下面我们讨论积分曲线(8-9)的性质：的性质： 由由(8-8)式知式知所以当所以当S<ρ时，时，I(S)是是S的增函数；的增函数； S>ρ时，时，I(S)是是S的减函数的减函数 而而I(0)＝－＝－∞，，I(S)＝＝I>0，， 由连续函数的零点定理及单调性知，由连续函数的零点定理及单调性知， 存在唯一存在唯一                               使得使得                 ，且当，且当                     时，时，I(S)>0 54当当t≥t时，方程时，方程(8-9)的图形如图的图形如图 由此知，当由此知，当t由由t变化到＋变化到＋∞时，点时，点(S(t),I(t))沿曲线沿曲线(8-9)移动，并沿移动，并沿S减少方向移动，因为减少方向移动，因为S(t)随时间的增随时间的增加而单调减少因此如果加而单调减少因此如果S小于ρ，则，则I(t)单调减少单调减少到零，到零，S(t)单调减少到单调减少到         。

所以，如果为数不多的所以，如果为数不多的一群传染者一群传染者I分散在居民分散在居民S中，且         ，则这种，则这种疾病会很快被消灭；如果疾病会很快被消灭；如果S>ρ，则随着，则随着S(t)减少到减少到ρ，，I(t)增加，且当增加，且当S＝＝ρ时时I(t)达到最大值；当达到最大值；当S(t)<ρ时，时，I(t)才开始减少才开始减少 55由上分析可得如下结论：由上分析可得如下结论：        只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值ρ＝＝           时，传染病才会蔓延时，传染病才会蔓延        用一般的常识来检验上面的结论也是符合的用一般的常识来检验上面的结论也是符合的当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。

则疾病在有限范围内出现却很快被消灭        将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，因此还可修改假设，建立更切合实际的模型因此还可修改假设，建立更切合实际的模型略）（略）。